Si un número cubo, al multiplicarse por sí mismo, hace algún número, el producto será cubo.
Haga, pues, el número A , al multiplicarse por sí mismo, el número B . Digo que B es cubo.
Pues tómese C, el lado de A , y C, al multiplicarse por sí mismo, haga el número D . Entonces queda claro que C, al multiplicar a D, ha hecho el número A. Y como C, al multiplicarse por sí mismo, ha hecho D, entonces, C mide a D según sus propias unidades. Pero, además, la unidad mide también según sus propias unidades a C. Por tanto, como la unidad es a C, C es a D [Def. VII.21]. Como C, al multiplicar a su vez a D, ha hecho el número A, entonces, D mide a A según las unidades de C. Pero la unidad también mide a C según sus unidades; luego, como la unidad es a C, D es a A. Y como la unidad es a C, C es a D; entonces, también, como la unidad es a C, así C a D y C a A. Por tanto, entre la unidad y el número A han caído dos números en proporción continua C, D que son medias proporcionales. Como A, al multiplicarse por sí mismo, ha hecho a su vez el número B, entonces A mide a B según sus propias unidades. Pero la unidad también mide a A según sus unidades; entonces, como la unidad es a A, A es a B [Def. VII.21]. Y entre la unidad y A han caído dos números que son medias proporcionales; por tanto, entre A y B caerán también dos números que son medias proporcionales [Prop. VIII.8]. Pero si caen dos números que son medias proporcionales entre dos números y el primero es cubo, también el segundo será cubo [Prop. VIII.23]. Ahora bien, A es cubo.
Por consiguiente, también B es cubo.
Q. E. D.