Entre dos números planos semejantes hay un número que es media proporcional; y el número plano guarda
con el número plano una razón duplicada de la que el lado
correspondiente guarda con el lado correspondiente.
Sean A, B dos números planos semejantes , y sean los números C, D los lados de A , y E, F los de B . Y puesto que números planos semejantes son los que tienen los lados
proporcionales [Def. VII.22], entonces como C es a D, así E a F.
Pues bien, digo que entre A, B hay un número que es la media proporcional y A guarda con B una razón duplicada de la que C guarda con E P D con F, es decir, de la que el
lado correspondiente guarda con el lado correspondiente.
Y dado que como C es a D, así E a F, entonces, por alternancia, como C es a E, así D a F [Prop. VII.13]. Ahora bien, como A es un número plano y C, D sus lados, entonces D,
al multiplicar a C, ha hecho el número A. Por lo mismo, también E, al multiplicar a F, ha hecho el número B.
Ahora D, al multiplicar a E, haga el número G . Y puesto que D, al multiplicar a C, ha hecho el número A, y al multiplicar a E, ha hecho el número G, entonces como C es a E,
así A a G [Prop. VII.17]. Pero como C es a E, así D es a F; entonces como D es a F, así A a G. Puesto que E, a su vez, al multiplicar a D ha hecho el número G,
y al multiplicar a F ha hecho el número B, entonces como D es a F, así G a B [Prop. VII.17]. Pero se ha demostrado también que como D es a F, así A a G; entonces también,
como A es a G, así G a B. Así pues, A, G, B son continuamente proporcionales. Luego entre A, B hay un número que es la media proporcional.
Digo ahora que A guarda con B una razón duplicada de la que el lado correspondiente guarda con el lado correspondiente, es decir, de la que C guarda con E P A con F.
Pues como A, G, B son continuamente proporcionales, A guarda con B una razón duplicada de la que guarda con G [Def. V.9]. Y como A es a G, así C a E y D a F.
Por consiguiente, A guarda con B una razón duplicada de la que C guarda con E P D con F.
Q. E. D.