Si tantos números como se quiera continuamente proporcionales son los menores de los que guardan la misma razón que ellos,
sus extremos son primos entre sí.
Sean A, B, C, D tantos números como se quiera continuamente proporcionales y los menores de los que guardan la misma razón que ellos .
Digo que sus extremos, A, D, son primos entre sí.
Tómense, pues, dos números E, F los menores en la razón de A, B, C, D [Prop. VII.33], y otros tres G, H, K , y así sucesivamente aumentando la serie de uno en uno [Prop. VIII.2]
hasta que la cantidad de números tomada resulte igual a la cantidad de los números A, B, C, D. Tómense y sean L, M, N, O .
Y puesto que E, F son los menores de los que guardan la misma razón que ellos, son primos entre sí [Prop. VII.22]. Ahora bien, como cada uno de los números E, F,
al multiplicarse por sí mismo, ha hecho los números G, K, respectivamente, mientras que al multiplicar a G, K, ha hecho los números L, O respectivamente,
entonces, G, K y L, O son primos entre sí [Prop. VII.27]. Y como A, B, C, D son los menores de los que guardan la misma razón con ellos, pero L, M, N, O son
también los menores que guardan la misma razón con A, B, C, D, y la cantidad de los números A, B, C, D es igual a la cantidad de los números L, M, N, O,
entonces, los números A, B, C, D son iguales respectivamente a los números L, M, N, O; por tanto, A es igual a L y D a O. Pero L, O son primos entre sí.
Por consiguiente, A, D también son primos entre sí.
Q. E. D.