Si hay dos pirámides de la misma altura que tienen triángulos como bases, y cada una de ellas se divide en dos pirámides iguales entre sí y semejantes a la pirámide entera y en dos prismas iguales; entonces como la base de una pirámide es a la base de la otra pirámide, así serán todos los prismas de una pirámide a todos los prismas iguales en número de la otra pirámide.

Sean dos pirámides de la misma altura que tienen como bases los triángulos ABC, DEF, y como vértices los puntos G, H Paso 1; y divídase cada una de ellas en dos pirámides iguales entre sí y semejantes a la pirámide entera, y en dos prismas iguales [Prop. XII.3] Paso 2. Digo que, como la base ABC es a la base DEF, así son todos los prismas de la pirámide ABCG a los prismas iguales en número de la pirámide DEFH.

Pues como BQ es igual a QC y AL a LC, entonces LQ es paralela a AB y el triángulo ABC es semejante al triángulo AQC; por lo mismo, el triángulo DEF es también semejante al triángulo RVF. Y como BC es el doble de CQ, mientras que EF es el doble de FV, entonces, como BC es a CQ, así EF a FV. Ahora bien, se han construido sobre BC, CQ las figuras rectilíneas semejantes y situadas de manera semejante ABC, LQC, y sobre EF, FV las figuras rectilíneas semejantes y situadas de manera semejante DEF, RVF; luego, como el triángulo ABC es al triángulo AQC, así el triángulo DEF al triángulo RVF [Prop. VI.22]. Entonces, por alternancia, como el triángulo ABC es al triángulo DEF, así el triángulo LQC es al triángulo RVF [Prop. V.16]. Ahora bien, como el triángulo LQC es al triángulo RVF, así el prisma cuya base es el triángulo LQC y su triángulo opuesto OMN es al prisma cuya base es el triángulo RQF y su triángulo opuesto STU [Lema subsiguiente a esta proposición]; entonces, como el triángulo ABC es al triángulo DEF, así el prisma cuya base es el triángulo LQC y su triángulo opuesto OMN al prisma cuya base es el triángulo RVF y su triángulo opuesto STU. Pero, como los antedichos prismas son entre sí, así el prisma cuya base es el paralelogramo KBQL y su recta opuesta OM, al prisma cuya base es el paralelogramo PEVR y su recta opuesta ST [Prop. XI.39,Prop. XII.3]. Entonces los dos prismas, aquel cuya base es el paralelogramo KBQL y su recta opuesta OM y aquel cuya base es el triángulo LQC y su triángulo opuesto OMN guardan la misma razón que los dos prismas, aquel cuya base es el paralelogramo PEVR y su recta opuesta ST y aquel cuya base es el triángulo RVF y cuyo triángulo opuesto es STU [Prop. V.12]. Luego, como la base ABC es a la base DEF, así los dos prismas a los otros dos prismas dichos. Y de manera semejante, si las pirámides OMNG, STUH se dividen en dos prismas y dos pirámides, como la base OMN es a la base STU, así serán los dos prismas de la pirámide OMNG a los dos prismas de la pirámide STUH. Ahora bien, como la base OMN es a la base STU, así la base ABC es a la base DEF: porque cada uno de los triángulos OMN, STU son iguales respectivamente a los triángulos LQC, RVF. Por tanto, como la base ABC es a la base DEF, así son los cuatro prismas a los cuatro prismas. De manera semejante, si dividimos las pirámides restantes en dos pirámides y dos prismas, entonces, como la base ABC es a la base DEF, así serán todos los prismas de la pirámide ABCG a todos los prismas iguales en número de la pirámide DEFH.

Q. E. D.

Hay que demostrar como sigue que, como el triángulo LQC es al triángulo RVF, así el prisma cuya base es el triángulo LQC y su triángulo opuesto OMN al prisma cuya base es el triángulo RVF y su triángulo opuesto STU.

Pues considérense en la misma figura las perpendiculares a los planos ABC, DEF desde los puntos G, H que son iguales evidentemente porque se ha supuesto que las pirámides son de la misma altura. Y como las dos rectas GC y la perpendicular desde G son cortadas por los planos paralelos ABC, OMN, serán cortadas en las mismas razones [Prop. XI.17]. Ahora bien, GC se ha dividido también en dos partes iguales por el plano OMN en el punto N; entonces la perpendicular desde G al plano ABC será dividida también en dos partes iguales por el plano OMN. Por lo mismo, la perpendicular desde H al plano DEF se ha dividido en dos partes iguales por el plano STU. Y las perpendiculares a los planos ABC, DEF desde los puntos G, H son iguales; luego las perpendiculares a los planos ABC, DEF desde los triángulos OMN, STU son también iguales. Por tanto, los prismas cuyas bases son los triángulos LQC, RVF y sus triángulos opuestos OMN, STU son de la misma altura. De modo que los sólidos paralelepípedos descritos sobre dichos prismas son de la misma altura y son entre sí como sus bases [Prop. XI.32]; por tanto, sus mitades, dichos prismas, son entre sí como la base LQC es a la base RVF.

Q. E. D.