Las bases de los conos y cilindros iguales están inversamente relacionadas con las alturas, y aquellos conos y cilindros cuyas bases están inversamente relacionadas con sus alturas son iguales.
Sean iguales los conos y cilindros cuyas bases son los círculos ABCD, EFGH ; sean AC, EG los diámetros de las bases y KL, MN los ejes que son también las alturas de los conos o cilindros , y complétense los cilindros AQ, EO. Digo que las bases de los cilindros AQ, EO están inversamente relacionadas con sus alturas, y como la base ABCD es a la base EFGH, así la altura MN a la altura KL.
Pues la altura LK o es igual a la altura MN o no lo es. Sea en primer lugar igual, y el cilindro AQ es también igual al cilindro EO. Pero los conos y cilindros que tienen la misma altura son entre sí como sus bases [Prop. XII.11]; entonces, la base ABCD es igual a la base EFGH. De modo que también, en razón inversa, como la base ABCD es a la base EFGH, así la altura MN a la altura KL. Pero ahora no sea la altura LK igual a la altura MN sino que sea mayor MN, y quítese de la altura MN, PN igual a KL , y córtese el cilindro EO por el punto P con el plano TYS paralelo a los planos de los círculos EFGH, RO , y considérese el cilindro ES levantado a partir del círculo EFGH como base y con la altura NP . Ahora bien, como el cilindro AQ es igual al cilindro EO, entonces, como el cilindro AQ es al cilindro ES, así el cilindro EO al cilindro ES [Prop. V.7]. Pero como el cilindro AG es al cilindro ES, así la base ABCD a la base EFGH: porque los cilindros AQ, ES tienen la misma altura [Prop. XII.11]; y como el cilindro EO es al cilindro ES, así la altura MN a la altura PN: porque el cilindro EO ha sido cortado por un plano que es paralelo a sus planos opuestos [Prop. XII.13]. Luego, como la base ABCD es a la base EFGH, así la altura MN a la altura PN [Prop. V.11]. Pero la altura PN es igual a la altura KL; entonces, como la base ABCD es a la base EFGH, así la altura MN a la altura KL. Por tanto, las bases de los cilindros AQ, EO están inversamente relacionadas con sus alturas. Pero, ahora, estén las bases de los cilindros AQ, EO inversamente relacionadas con sus alturas, y, como la base ABCD es a la base EFGH, así la altura MN a la altura KL. Digo que el cilindro AQ es igual al cilindro EO.
Pues, siguiendo la misma construcción, dado que, como la base ABCD es a la base EFGH, así la altura MN a la altura KL, mientras que la altura KL es igual a la altura PN, entonces, como la base ABCD es a la base EFGH, así la altura MN a la altura PN. Pero como la base ABCD es a la base EFGH, así el cilindro AQ al cilindro ES: porque tienen la misma altura [Prop. XII.11]; y como la altura MN es a la altura PN, así el cilindro EO al cilindro ES [Prop. XII.13]; entonces, como el cilindro AQ es al cilindro ES, así el cilindro EO al cilindro ES [Prop. V.11]. Por tanto el cilindro AQ es igual al cilindro EO [Prop. V.9]. Y de la misma forma también en el caso de los conos.
Q. E. D.