Los polígonos semejantes inscritos en círculos son uno a otro como los cuadrados de los diámetros.
Sean ABC , FGH los círculos y sean ABCDE , FGHKL los polígonos semejantes inscritos en ellos, y sean BM , GN los diámetros de los círculos.
Digo que, como el cuadrado de BM es al cuadrado de GN, así el polígono ABCDE al polígono FGHKL.
Trácense, pues, BE, AM, GL, FN . Y como el polígono ABCDE es semejante al polígono FGHKL, el ángulo BAE es igual al ángulo GFL, y como BA es a AE, así GF a FL [Prop. VI.1].
Entonces BAE, GFL son dos triángulos que tienen un ángulo de uno igual a un ángulo del otro —el ángulo BAE al ángulo GFL— y los lados que comprenden los ángulos iguales, proporcionales;
luego los triángulos ABE, GFL son equiangulares [Prop. VI.6]. Por tanto, el ángulo AEB es igual al ángulo FLG. Pero el ángulo AEB es igual al ángulo AMB: porque están sobre la misma
circunferencia [Prop. III.27]; y el ángulo FLG es igual al ángulo FNG; entonces el ángulo AMB es también igual al ángulo FNG. Pero el ángulo recto BAM es igual al ángulo recto GFN [Prop. III.31];
luego el ángulo restante es igual al ángulo restante [Prop. I.32]. Por tanto, los triángulos ABM, FGN son equiangulares. Luego, proporcionalmente, como BM es a GN, así BA a GF [Prop. VI.4].
Pero el cuadrado de BM guarda con el cuadrado de GN una razón duplicada de la que BM guarda con GN, y el polígono ABCDE guarda con el polígono FGHKL una razón duplicada de la que BA
guarda con GF [Prop. VI.29]; entonces, como el cuadrado de BM es al cuadrado de GN, así el polígono ABCDE es al polígono FGHKL.
Por consiguiente, los polígonos semejantes inscritos en círculos son uno a otro como los cuadrados de los diámetros.
Q. E. D.