Las pirámides semejantes que tienen como bases triángulos guardan una razón triplicada de la de sus lados correspondientes.
Sean las pirámides semejantes y situadas de manera semejante cuyas bases son los triángulos ABC, DEF y sus vértices los puntos G, H . Digo que la pirámide ABCG guarda con la pirámide DEFH una razón triplicada de la que BC guarda con EF.
Complétense, pues, los sólidos paralelepípedos BGML, EHPO . Ahora bien, como la pirámide ABCG es semejante a la pirámide DEFH, entonces, el ángulo ABC es igual al ángulo DEF, y el ángulo GBC es igual al ángulo HEF, y el ABG al DEH, y como AB es a DE, así BC a EF y BG a EH. Y dado que, como AB es a DE, así BC a EF y que los lados que comprenden ángulos iguales son proporcionales, entonces, el paralelogramo BM es semejante al paralelogramo EP. Por lo mismo, en efecto, el paralelogramo BN es semejante al paralelogramo ER y el paralelogramo BK al paralelogramo EQ; luego los tres paralelogramos MB, BK, BN son semejantes a los tres paralelogramos EP, EQ, ER. Pero los tres paralelogramos MB, BK, BN son iguales y semejantes a sus tres opuestos, y los tres paralelogramos EP, EQ, ER son también iguales y semejantes a sus tres opuestos [Prop. XI.24], Entonces los sólidos BGML, EHPO están comprendidos por planos semejantes e iguales en número. Luego el sólido BGML es semejante al sólido EHPO. Pero los sólidos paralelepípedos semejantes guardan una razón triplicada de la de sus lados correspondientes [Prop. XI.33]. Entonces el sólido BGML guarda con el sólido EHPO una razón triplicada de la que el lado correspondiente BC guarda con el lado correspondiente EF. Pero como el sólido BGML es al sólido EHPO, así la pirámide ABCG a la pirámide DEFH: pues la pirámide es la sexta parte del sólido porque el prisma, que es la mitad del sólido paralelepípedo [Prop. XI.28], es el triple de la pirámide [Prop. XII.7].
Por consiguiente, la pirámide ABCG guarda con la pirámide DEFH una razón triplicada de la que BC guarda con EF.
Q. E. D.
A partir de esto queda claro que las pirámides que tienen como bases polígonos guardan entre sí una razón triplicada de la de sus lados correspondientes. Pues, si se dividen en las pirámides contenidas en ellas que tengan como bases triángulos —por el hecho de que los polígonos semejantes de sus bases se dividen en triángulos semejantes e iguales en número y homólogos a los polígonos enteros [Prop. VI.20]— entonces, como una de las pirámides con base triangular de la primera es a una de las pirámides con base triangular de la segunda, así serán todas las pirámides con base triangular de la primera pirámide a las pirámides con base triangular de la segunda pirámide [Prop. V.12], es decir, la propia pirámide que tiene como base un polígono a la otra pirámide que tiene como base un polígono. Pero la pirámide que tiene como base un triángulo guarda con la pirámide que tiene como base un triángulo una razón triplicada de la de sus lados correspondientes. Por consiguiente, la pirámide que tiene como base un polígono guarda con la que tiene una base semejante una razón triplicada de la que el lado guarda con el lado.