Las bases de las pirámides iguales que tienen como bases triángulos están inversamente relacionadas con sus alturas; y aquellas pirámides que tienen como bases triángulos, cuyas bases están inversamente relacionadas con sus alturas, son iguales.
Sean, pues, las pirámides iguales que tienen como bases los triángulos ABC, DEF y como vértices los puntos G, H . Digo que las bases de las pirámides ABCG, DEFH están inversamente relacionadas con sus alturas, y como la base ABC es a la base DEF, así la altura de la pirámide DEFH a la altura de la pirámide ABCG.
Pues complétense los sólidos paralelepípedos BGML, EHPO . Y como la pirámide ABCG es igual a la pirámide DEFH, y el sólido BGML es el séxtuple de la pirámide ABCG, mientras que el sólido EHPO es el séxtuple de la pirámide DEFH, entonces el sólido BGML es igual al sólido EHPO. Pero las bases de los sólidos paralelepípedos iguales están inversamente relacionadas con sus alturas [Prop. XI.34]; entonces, como la base BM es a la base EP, así la altura del sólido EHPO es a la altura del sólido BGML. Ahora bien, como la base BM es a la base EP, así el triángulo ABC al triángulo DEF [Prop. I.34]. Luego también, como el triángulo ABC es al triángulo DEF, así la altura del sólido EHPO a la altura del sólido BGML [Prop. V.11]. Pero la altura del sólido EHPO es la misma que la altura de la pirámide DEFH, y la altura del sólido BGML es la misma que la altura de la pirámide ABCG; entonces, como la base ABC es a la base DEF, así la altura de la pirámide DEFH es a la altura de la pirámide ABCG. Por tanto, las bases de las pirámides ABCG, DEFH están inversamente relacionadas con sus alturas. Pero ahora, estén las bases de las pirámides ABCG, DEFH inversamente relacionadas con sus alturas, y, como la base ABC es a la base DEF, así la altura de la pirámide DEFH a la altura de la pirámide ABCG. Digo que la pirámide ABCG es igual a la pirámide DEFH. Pues, siguiendo la misma construcción, dado que, como la base ABC es a la base DEF, así la altura de la pirámide DEFH a la altura de la pirámide ABCG, mientras que, como la base ABC es a la base DEF, así el paralelogramo BM al paralelogramo EP; entonces también, como el paralelogramo BM es al paralelogramo EP, así la altura de la pirámide DEFH a la altura de la pirámide ABCG [Prop. V.11], Ahora bien, la altura de la pirámide DEFH es la misma que la altura del paralelepípedo EHPO, y la altura de la pirámide ABCG es la misma que la altura del paralelepípedo BGML. Entonces, como la base BM es a la base EP, así la altura del paralelepípedo EHPO a la altura del paralelepípedo BGML. Pero aquellos sólidos paralelepípedos cuyas bases están inversamente relacionadas con sus alturas son iguales [Prop. XI.34]; luego el sólido paralelepípedo BGML es igual al sólido paralelepípedo EHPO. Ahora bien, la pirámide ABCG es la sexta parte del paralelepípedo BGML, y la pirámide DEFH es la sexta parte del paralelepípedo EHPO. Por tanto la pirámide ABCG es igual a la pirámide DEFH.
Por consiguiente, las bases de las pirámides que tienen como bases triángulos están inversamente relacionadas con sus alturas, y aquellas pirámides que tienen como bases triángulos, cuyas bases están inversamente relacionadas con sus alturas, son iguales.
Q. E. D.