Si un cilindro es cortado por un plano que sea paralelo a los planos opuestos, entonces, como el cilindro es al cilindro, así el eje es al eje.
Sea cortado el cilindro AD por el plano GH que es paralelo a los planos opuestos AB, CD, y encuentre el plano GH al eje en el punto K. Digo que, como el cilindro BG es al cilindro GD, así el eje EK al eje KF.
Prolónguese, pues, el eje EF por cada lado hasta los puntos L, M y dispónganse cuantos ejes se quiera EN, NL iguales al eje EK y cuantos se quiera FQ, QM iguales a FK . Y considérese sobre el eje LM el cilindro OX cuyas bases son los círculos OP, UX. Trácense, a través de los puntos N, Q, planos paralelos a AB, CD y a las bases del cilindro OX y háganse los círculos RS, TY en torno a los centros N, Q . Y como los ejes LN, NE, EK son iguales entre sí, entonces los cilindros PR, RB, BG son entre sí como sus bases [Prop. XII.11]; pero sus bases son iguales; luego los cilindros PR, RB, BG son iguales entre sí . Pues bien, como los ejes LN, NE, EK son iguales entre sí, y los cilindros PR, RB, BG también son iguales entre sí, y es igual el número de los primeros al número de los segundos, entonces, el eje KL será el mismo múltiplo del eje EK que el cilindro PG del cilindro GB. Por lo mismo, entonces, el eje MK es el mismo múltiplo del eje KF que el cilindro XG del cilindro GD. Y si el eje KL es igual al eje KM, el cilindro PG será también igual al cilindro GX, y si el eje es mayor que el eje, el cilindro será también mayor que el cilindro, y si es menor, menor. Entonces, siendo cuatro magnitudes los ejes EK, KF y los cilindros BG, GD, se han tomado los equimúltiplos, a saber: el eje LK y el cilindro PG, del eje EK y el cilindro BG; y equimúltiplos, a saber el eje KM y el cilindro GX, del eje KF y el cilindro GD; y se ha demostrado que si el eje KL excede al eje KM, también el cilindro PG excede al cilindro GX, y si es igual, igual y si menor, menor. Por tanto, como el eje EK es al eje KF, así el cilindro BG al cilindro GD [Def. V.5].
Q. E. D.