Circunscribir un pentágono equilátero y equiángulo en torno a un círculo dado.
Sea ΑΒCDΕ el círculo dado .
Así pues, hay que circunscribir un pentágono equilátero y equiángulo en torno al círculo ΑΒCDΕ.
Considérense Α, Β, C, D, Ε los puntos de los ángulos del pentágono inscrito
, de modo que las circunferencias ΑΒ, ΒC, CD, DΕ, ΕΑ sean iguales
[Prop. IV.11]; y a través de los puntos A, Β, C, D,
Ε trácense GH, GΚ, ΚL, LΜ, ΜG tangentes al círculo [Cor. Prop. III.16], y tómese el centro F del círculo ΑΒCDΕ
[Prop. III.1], y trácense FΒ, ΒΚ, FC, FL, FD .
Y como la recta ΚL toca el círculo ΑΒCDΕ en C, y FC ha sido trazada desde el centro F hasta el punto de contacto C, entonces FC es perpendicular a ΚL
[Prop. III.18]; por tanto, cada uno de los ángulos correspondientes a C es recto. Por lo mismo, los ángulos correspondientes a los puntos Β, D son también rectos. Y como el ángulo FCΚ es también recto, entonces el cuadrado de FΚ es igual a los cuadrados de FC, CΚ [Prop. I.47], Por lo mismo, el cuadrado de FΚ es igual a los cuadrados de FΒ, ΒΚ; de modo que los cuadrados de FC, CΚ son iguales a los cuadrados de FΒ, ΒΚ, de los cuales el cuadrado de FC es igual al cuadrado de FΒ; por tanto, el cuadrado restante de CΚ es igual al cuadrado de ΒΚ. Luego ΒΚ es igual a CΚ. Y como FΒ es igual a FC, y FΚ es común, entonces los dos lados ΒF, FΚ son iguales a los dos lados CF, FΚ; y la base ΒΚ es igual a la base CΚ; entonces el ángulo ΒFΚ es igual al ángulo ΚFC [Prop. I.8]; y el ángulo ΒΚF al ángulo FΚC; por tanto, el ángulo ΒFC es el doble del ángulo ΚFC y el ángulo ΒΚC el doble del ángulo FΚC. Por lo mismo, el ángulo CFD es también el doble del ángulo CFL y el ángulo DLC el doble del ángulo FLC.
Ahora bien, como la circunferencia ΒC es igual a CD, el ángulo ΒFC es también igual al ángulo CFD [Prop. III.27], Y el ángulo ΒFC es el doble del ángulo ΚFC, y el ángulo DFC el doble del ángulo LFC; entonces el ángulo ΚFC es también igual al ángulo LFC; pero el ángulo FCΚ es también igual al ángulo FCL. Entonces FΚC, FLC son dos triángulos que tienen dos ángulos iguales a dos ángulos y un lado igual a un lado, a saber: el común a ambos FC; por tanto, también tendrán los lados restantes iguales a los lados restantes y el ángulo restante igual al ángulo restante [Prop. I.26]; así pues, la recta ΚC es igual a la recta CL y el ángulo FΚC al ángulo FLC. Y como ΚC es igual a CL, entonces ΚL es el doble de ΚC. Por lo mismo, se demostraría que GΚ es también el doble de ΒΚ. Y ΒΚ es igual a ΚC; entonces GΚ también es igual a ΚL. De manera semejante se demostraría que cada una de las rectas GH, GΜ, ΜL también es igual a cada una de las rectas GΚ, ΚL; por tanto, el pentágono GHΚLΜ es equilátero.
Digo, además, que también es equiángulo.
Pues como el ángulo FΚC es igual al ángulo FLC y se ha demostrado que el ángulo HΚL es el doble del ángulo FΚC, y el ángulo ΚLΜ el doble del ángulo FLC, entonces el ángulo GΚL
es igual al ángulo ΚLΜ. De manera semejante se demostraría que cada uno de los ángulos ΚHG, HGΜ, GΜL es también igual a cada uno de los ángulos HΚL, ΚLΜ; por tanto,
los cinco ángulos GHΚ, HΚL, ΚLΜ, LΜG, ΜGH son iguales entre sí. Luego el pentágono GHΚLΜ es equiángulo
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Pero se ha demostrado que también es equilátero y está circunscrito en torno al círculo ΑΒCDΕ.
Por consiguiente, se ha circunscrito un pentágono equilátero y equiángulo en torno al círculo dado.
Q. E. F.
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