Circunscribir un cuadrado en torno a un círculo dado.
Sea ΑΒCD el círculo dado .
Así pues, hay que circunscribir un cuadrado en torno al círculo ΑΒCD.
Trácense dos diámetros ΑC, ΒD del círculo ΑΒCD formando ángulos rectos entre sí ,
y a través de los puntos A, Β, C, D trácense FG, GH, HΚ, ΚF tangentes al círculo ΑΒCD [Cor. Prop. III.16]
.
Así pues, como FG toca el círculo ΑΒCD, y ΕΑ se ha trazado desde el centro Ε hasta el punto de contacto Α, entonces los ángulos correspondientes a A son rectos
[Prop. III.18].
Por lo mismo, los ángulos correspondientes a los puntos Β, C, D son rectos.
Y como el ángulo ΑΕΒ es recto, y el ángulo ΕΒG es también recto, GH es paralela a ΑC [Prop. I.28]
.
Por lo mismo, ΑC es también paralela a FΚ. De modo que GH es también paralela a FΚ
[Prop. I.30]. De manera semejante demostraríamos que cada una de las rectas GF, HΚ es paralela a ΒΕD.
Por tanto, GΚ, GC, ΑΚ, FΒ, ΒΚ son paralelogramos; luego GF es igual a HΚ y GH a FΚ [Prop. I.34], Ahora bien, como ΑC es igual a ΒD,
mientras que ΑC es también igual a cada una de las rectas GH, FΚ y ΒD es igual a cada una de las rectas GF, HΚ [Prop. I.34], entonces el cuadrilátero FGHΚ es equilátero.
Digo, además, que también es rectangular.
Pues como GΒΕΑ es un paralelogramo, y el ángulo ΑΕΒ es recto, entonces el ángulo ΑGΒ es también recto [Prop. I.34].
De manera semejante demostraríamos que los ángulos correspondientes a G, Κ, F son rectos. Por tanto, FGHΚ es rectangular. Pero se ha demostrado que también es equilátero; luego es un cuadrado. Y está circunscrito en torno al círculo ΑΒCD.
Por consiguiente, se ha circunscrito un cuadrado en torno al círculo dado.
Q. E. F.