Inscribir un círculo en un pentágono dado que es equilátero y equiángulo.
Sea ΑΒCDΕ el pentágono dado equilátero y equiángulo.
Así pues, hay que inscribir un círculo en el pentágono ΑΒCDΕ.
Divídanse, pues, en dos partes iguales los ángulos ΒCD, CDΕ con las rectas CF, DF, respectivamente;
y a partir del punto F, donde se encuentran las rectas CF, DF entre sí, trácense las rectas FΒ, FΑ, FΕ
.
Y como ΒC es igual a CD, y CF es común, los dos lados ΒC, CF son iguales a los dos lados DC, CF; y el ángulo ΒCF es igual al ángulo DCF; entonces la base ΒF es igual a la base DF,
y el triángulo ΒCF es igual al triángulo DCF, y los ángulos restantes, subtendidos por los lados iguales, serán iguales, respectivamente [Prop. I.4];
por tanto, el ángulo CΒF es igual al ángulo CDF. Y como el ángulo CDΕ es el doble del ángulo CDF, y el ángulo CDΕ es igual al ángulo ΑΒC, mientras que el ángulo CDF
es igual al ángulo CΒF, entonces el ángulo CΒΑ es también el doble del ángulo CΒF; por tanto, el ángulo ΑΒF es igual al ángulo FΒC; luego el ángulo ΑΒC ha sido dividido en
dos partes iguales por la recta ΒF. De manera semejante se demostraría que los ángulos ΒΑΕ, ΑΕD han sido divididos en dos partes iguales respectivamente por las rectas FΑ, FΕ.
Ahora bien, trácense a partir del punto F las rectas FG, FH, FΚ, FL, FΜ perpendiculares a las rectas ΑΒ, ΒC, CD, DΕ, ΕΑ
. Y como el ángulo GCF es igual al ángulo ΚCF,
y el ángulo recto FGC es igual al FΚC, entonces FGC, FΚC son dos triángulos que tienen dos ángulos iguales a dos ángulos y un lado igual a un lado, a saber: FC común a
ambos que subtiende a uno de los ángulos iguales; por tanto, tendrá los lados restantes iguales a los lados restantes [Prop. I.26];
luego la perpendicular FG es igual a la perpendicular FΚ. De manera semejante demostraríamos que cada una de las rectas FL, FΜ, FG es igual a cada una de las rectas FG, FΚ;
por tanto, las cinco rectas FG, FH, FΚ, FL, FΜ son iguales entre sí. Luego el círculo descrito con el centro F y como distancia una de las rectas FG, FH, FΚ, FL, FΜ
,
pasará también por los demás puntos y tocará las rectas ΑΒ, ΒC, CD, DΕ, ΕΑ por ser rectos los ángulos correspondientes a los puntos G, H, Κ, L, Μ. Pues si no las tocara
sino que las cortara, resultaría que la recta trazada formando ángulos rectos con el diámetro de un círculo desde un extremo cae dentro del círculo; lo cual se ha demostrado
que es absurdo [Prop. III.16]. Por tanto, el círculo descrito con el centro F y como distancia una de las rectas FG, FG, FΚ, FΑ, FΜ
no corta las rectas ΑΒ, ΒC, CD, DΕ, ΕΑ; luego las tocará. Descríbase como GHΚLΜ.
Por consiguiente, se ha inscrito un círculo en un pentágono dado que es equilátero y equiángulo.
Q. E. F.