Construir un octaedro y envolverlo en una esfera como en la proposición anterior, y demostrar que el cuadrado del diámetro de la esfera es el doble del cuadrado del lado del octaedro.
Póngase el diámetro AB de la esfera dada y divídase en dos por el punto C ; descríbase sobre AB el semicírculo ADB , y trácese, desde el punto C, CD formando ángulos rectos con AB ; trácese DB ; póngase el cuadrado EFGH que tenga cada uno de sus lados igual a DB , y trácense HF, EG ; levántese, a partir del punto K, la recta KL formando ángulos rectos con el plano del cuadrado EFGH [Prop. XI.12] y prolónguese hacia el otro lado del plano como KM , y de las rectas KL, KM quítense respectivamente KL, KM iguales a una de las rectas EK, FK, GK, HK y trácense LE, LF, LG, LH, ME, MF, MG, MH . Como KE es igual a KH y el ángulo EKH es recto, entonces el cuadrado de HE es el doble del cuadrado de EK [Prop. I.47]. Como, a su vez, LK es igual a KE y el ángulo LKE es recto, entonces el cuadrado de EL es el doble del cuadrado de EK [Prop. I.47]. Pero se ha demostrado que también el cuadrado de HE es el doble del cuadrado de EK; entonces el cuadrado de LE es igual al cuadrado de EH; luego LE es igual a EH. Por lo mismo, LH es también igual a HE; por tanto, el triángulo LEH es equilátero. De manera semejante demostraríamos que cada uno de los triángulos restantes cuyas bases son los lados del cuadrado EFGH y sus vértices los puntos L, M, son equiláteros; por tanto, se ha construido un octaedro comprendido por ocho triángulos equiláteros .
Ahora hay que envolverlo en la esfera dada y demostrar que el cuadrado del diámetro de la esfera es el doble del cuadrado del lado del octaedro. Pues como las tres rectas LK, KM, KE son iguales entre sí, entonces el semicírculo descrito sobre LM pasará también por el punto E. Y por lo mismo, si, permaneciendo fija LM, se hace girar el semicírculo y se vuelve a la misma posición desde donde empezó a moverse, pasará también por los puntos F, G, H, y el octaedro quedará envuelto en una esfera . Digo además que también en la esfera dada. Pues como LK es igual a KM y KE es común y comprenden ángulos rectos, entonces, la base LE es igual a la base EM [Prop. I.4]. Y como el ángulo LEM es recto, porque está en un semicírculo [Prop. III.31], entonces el cuadrado de LM es el doble del cuadrado de LE [Prop. I.47]. Como, a su vez, AC es igual a CB, AB es el doble de BC. Pero como AB es a BC, así el cuadrado de AB al cuadrado de BD; entonces el cuadrado de AB es el doble del cuadrado de BD. Pero se ha demostrado que también el cuadrado de LM es el doble del de LE. Y el cuadrado de DB es igual al cuadrado de LE, porque EH se ha hecho igual a DB. Entonces el cuadrado de AB es igual al cuadrado de LM; luego AB es igual a LM. Y AB es el diámetro de la esfera dada; por tanto LM es igual al diámetro de la esfera dada.
Q. E. D.