Si se inscribe un pentágono equilátero en un círculo que tenga radio expresable, el lado del pentágono es la recta sin razón expresable llamada menor.
Inscríbase, pues el pentágono equilátero ⬠ABCDE en el círculo ◯ABCDE que tiene el radio expresable. Digo que el lado del pentágono es la recta sin razón expresable llamada menor.
Pues tómese el punto F como centro del círculo y trácense AF, FB y prolónguense hasta los puntos G, H y trácese AC y hágase FK = (1/4)AF . Pero AF es expresable, entonces FK es también expresable. Pero BF también es expresable; entonces la recta entera BK es expresable. Y como el arco de circunferencia ACG es igual al arco de circunferencia ADG y en ellas ABC = AED, entonces, el resto CG = GD. Luego, si trazamos AD, se concluye que los ángulos correspondientes a L son rectos y que CD = 2CL. Por lo mismo los ángulos correspondientes a M son rectos y AC = 2CM. Pues bien, como ∠ALC = ∠AMF y el ángulo ∠LAC es común a los dos triángulos △ACL y △AMF, entonces el ángulo restante ∠ACL es igual al ángulo restante ∠MFA [Prop. I.32]. Luego el triángulo △ACL es de ángulos iguales a los del triángulo △AMF; por tanto, proporcionalmente, LC / CA = MF / FA; y tomando los dobles de los antecedentes, 2LC / CA = 2MF / FA. Pero como 2MF / FA = MF / (1/2)FA; entonces también, 2LC / CA = MF / (1/2)FA. Y tomando la mitad de los consecuentes, 2LC / (1/2)CA = MF / (1/4)FA. Ahora bien, 2LC = DC; la mitad de CA, CM; y la cuarta parte de FA, FK; entonces, DC / CM = MF / FK. Y, por composición, como DC + CM / CM = MK / KF [Prop. V.18]; luego, (DC + CM)2 / CM2 = MK2 / KF2. Y puesto que, si se corta en extrema y media razón la recta que subtiende dos lados del pentágono, como AC, el segmento mayor es igual al lado del pentágono, es decir, DC [Prop. XIII.8], mientras que el cuadrado del segmento mayor añadido a la mitad de la recta entera es cinco veces la mitad del cuadrado de la recta entera [Prop. XIII.1], y CM = (1/2)AC, entonces, (DC + CM)2 = 5CM2. Pero se ha demostrado que, (DC + CM)2 / CM2 = MK2 / KF2. Entonces, MK2 = 5KF2. Pero KF2 es expresable, porque el radio es expresable; luego MK2 es expresable. Por tanto, MK es expresable. Y como BF = 4FK, entonces BK = 5KF; luego BK2 = 25KF2. Pero MK2 = 5KF2. Entonces, BK2 = 5KM2; luego el cuadrado de BK no guarda con el cuadrado de KM la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; por tanto BK es inconmensurable en longitud con KM [Prop. X.9]. Y cada una de ellas es expresable; así pues, BK, KM son rectas expresables conmensurables sólo en cuadrado. Pero si se quita de una recta expresable otra recta expresable conmensurable sólo en cuadrado con la recta entera, la recta restante, sin razón expresable, es una apótoma; por tanto MB es una apótoma y MK la adjunta a ella [Prop. X.73].
Digo ahora que además MB es la cuarta apótoma. Sea N2 = BK2 - KM2 ; entonces BK2 = KM2 + N2. Ahora bien, como KF es conmensurable con FB, también, por composición, KB es conmensurable con FB [Prop. X.15]. Pero BF es conmensurable con BH; luego BK también es conmensurable con BH [Prop. X.12]. Y BK2 = 5KM2, entonces BK2 / KM2 = 5 / 1. Entonces, por conversión, BK2 / N2 = 5 / 4 [Cor. Prop. V.19], no la que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; entonces BK es inconmensurable con N [Prop. X.9]; luego el cuadrado de BK es mayor que el cuadrado de KM en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella BK; y puesto que el cuadrado de la recta entera BK es mayor que el cuadrado de la adjunta, KM, en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella BK, y la recta entera, BK, es conmensurable con la recta expresable propuesta, BH, entonces MB es una cuarta apótoma [Def. X.4]. Pero el rectángulo comprendido por una recta expresable y una cuarta apótoma no tiene razón expresable y el lado del cuadrado no tiene razón expresable y se llama «menor» [Prop. X.94]. Pero AB2 = HB⋅BM, porque, si se traza AH, el triángulo △ABH es de ángulos iguales a los del triángulo △ABM y HB / BA = AB / BM.
Q. E. D.