Si se corta una línea recta en extrema y media razón, el cuadrado del segmento mayor junto con el de la mitad de la recta entera es cinco veces el cuadrado de la mitad.

Córtese pues la línea recta AB Paso 1 en extrema y media razón por el punto C Paso 2, y sea AC el segmento mayor, prolónguese la recta AD en línea recta con CA y hágase AD = AB / 2 Paso 3. Digo que CD² = 5DA².

Pues constrúyanse los cuadrados ◻AE Paso 4, ◻DF Paso 5 de AB, DC e inscríbase la figura en ◻DF; prolónguese FC hasta G Paso 6. Ahora bien, como AB se ha dividido en extrema y media razón por C, entonces AB⋅BC = AC² [Def. VI.3 y Prop. VI.17]. Y AB⋅BC = ▭CE, mientras que AC² = ◻FH; entonces, ▭CE = ◻FH Paso 7. Y como BA = 2AD, mientras que BA = KA y AD = AH, entonces KA = 2AH. Pero, como KA / AH = CK / CH [Prop. VI.1]; luego CK = 2CH. Pero también LH + HC = 2CH. Entonces KC = LH + HC. Pero se ha demostrado que ▭CE = ◻HF; luego ◻AE = ◱ACFLPH [Def. II.2].

Y como BA = 2AD, entonces BA² = 4AD², es decir, ◻AE = 4◻DH. Pero ◻AE = ◱ACFLPH [Def. II.2]; entonces ◱ACFLPH = 4◻AP; luego ◻DF = 5◻AP. Ahora bien, ◻DF = DC², mientras que ◻AP = DA²; por tanto, CD² = 5DA².

Q. E. D.