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En cambio, la conexión lineal o la estructura proyectiva no son estructuras de primer orden.. Veamos que, bajo el prisma que estamos adoptando, ambas son casos de estructuras geométricas de segundo orden.
Fibrado de referencias de segundo orden. El fibrado que se obtiene de considerar en cada punto las clases de cartas centradas en el punto, bajo la relación que las hace equivalentes si la diferencial en el punto de la transformación de coordenadas es la identidad y la diferencial segunda se anula, es el fibrado de referencias de segundo orden, que denotamos por F2M; y a los elementos de F2M los llamamos referencias de segundo orden. Es un fibrado principal con grupo de estructura el grupo denotado por G2(n), formado por los 2-jets en 0 de difeomorfismos de Rn que preservan el 0.
El grupo G2(n) es el produto semidirecto del subgrupo de los 2-jets de las transformaciones lineales, identificado con Gl(n,R), y el subgrupo de 2-jets de las transformaciones polinómicas de grado mayor o igual que 2, que identificamos con el grupo aditivo de las aplicaciones bilineales simétricas de Rn por Rn en Rn y que denotamos por S2(n).
No hay una analogía con el caso de primer orden en cuanto que las referencias de segundo orden sean bases de un fibrado vectorial naturalmente definido: El fibrado tangente de segundo orden, T2M, no es un fibrado vectorial, ni admite un sistema canónico de bases. El fibrado tangente del fibrado tangente, T(TM), es un fibrado demasiado genérico para describir apropiadamente las estructuras geométricas específicas de las variedades espacio o espacio-tiempo.
No es difícil probar que una conexión lineal simétrica se puede caracterizar por un subfibrado del fibrado de referencias de segundo orden con grupo de estructura el subgrupo GL(n,R) de G2(n). Dicho subfibrado no es otro que el formado por los 2-jets, en el origen de coordenadas, de las cartas nomales de la conexión lineal. (Tesis)
Efectivamente, dada una conexión lineal, por cada base del espacio tangente de un punto hay una carta normal que determina una referencia de segundo orden en el punto.
Recíprocamente, demos una referencia de segundo orden por cada referencia lineal en cada punto. Cada una es una clase de cartas, caracterizada por las derivadas parciales segundas de sus funciones coordenadas respecto de las coordenadas de una carta auxiliar. Estas derivadas parciales segundas componen los símbolos de Christoffel, relativos a la carta auxiliar, de una conexión lineal simétrica unívocamente definida.
En este sentido, pues, una conexión lineal simétrica es una estructura geométrica de segundo orden.
Veamos ahora la estructura proyectiva. Entendemos por tal una clase de conexiones lineales caracterizadas por poseer todas la misma familia de curvas geodésicas salvo reparametrizaciones, es decir, las mismas pregeodésicas. Además, una estructura proyectiva viene determinada unívocamente por la familia de trayectorias (curvas no parametrizadas) susceptibles de ser parametrizadas como geodésicas de una conexión.
Desde el prisma que estamos abordando este estudio, la estructura proyectiva es el conjunto de referencias de segundo orden formado por los 2-jets, en el origen de coordenadas, de las cartas nomales de las conexiones de la clase proyectiva. De hecho, podemos afirmar alternativamente que una estructura proyectiva es un subfibrado del fibrado de referencias de segundo orden con grupo de estructura un subgrupo de G2(n), que es el producto semidirecto del grupo GL(n,R) con un subgrupo de S2(n) isomorfo al grupo aditivo Rn.
Por tanto, una estructura proyectiva es una estructura geométrica de segundo orden.