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Hemos establecido implícitamente el paralelismo
Pero tambien algunas G-estructuras determinan canónicamente subfibrados del fibrado de referencias de segundo orden. Ése es el caso cuando la G-estructura admite una conexión lineal simétrica, es decir, una cuya distribución de subespacios horizontales en LM es tangente a la G-estructura.
(Nota: una conexión en cualquier G-estructura siempre existe y se extiende a una conexion lineal en LM, cuyos subespacios horizontales son, naturalmente, tangentes a la G-estructura en los puntos de ella. Lo que está en cuestión es que exista una conexión en la G-estructura tal que la conexión lineal inducida carezca de torsión.)
En concreto tenemos el siguiente teorema, adaptado al enfoque que perseguimos:
Si P es una G-estructura que admite alguna conexión lineal simétrica entonces, la reunión de las referencias de segundo orden obtenidas con los 2-jets (en el origen de coordenadas) de las cartas nomales (con referencia lineal en P) de todas conexión lineales simétricas que admite P, forma un subfibrado principal de F2M con grupo de estructura el producto semidirecto de G con el grupo aditivo g1⊂ S2(n), siendo g1 la, así llamada, primera prolongación del álgebra de Lie g de G.
Denotemos por P1 a tal subfibrado, cuando exista, del fibrado de referencias de segundo orden y llamémoslo la (primera) prolongación de la G-estructura P.
Para ciertos subgrupos (no muchos: están clasificados; Kobayashi) del grupo general lineal la existencia de conexiones lineales simétricas de las correspondientes G-estructuras está garantizada a priori.
Tal es el caso de la conexión de Levi-Civita cuando se trata del subgrupo ortogonal o pseudo-ortogonal.
Es obvia la existencia de conexiones lineales simétricas para las estructuras conformes, pues cualquier métrica de la clase conforme proporciona una conexión de Levi-Civita cuya distribución horizontal es tangente a la estructura conforme.
Y también, toda estuctura de volumen admite conexiones lineales simétricas. Sucede cuando el volumen es preservado por el trasporte paralelo o, equivalentemente, si la derivada covariante de la forma de volumen se anula.