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Una métrica siempre se obtiene de la conjunción de una estructura conforme y de una estructura de volumen (Benalmádena)
Coherentemente, la prolongación de una estructura conforme y la prolongación de una estructura de volumen intersecan en la prolongación de la estructura métrica, que es la conexión de Levi-Civita (Benalmádena)
Si una G-estructura está definida por un tensor, como aquellas referencias lineales que expresan al tensor en forma canónica, entonces la prolongación de la G-estructura está compuesta por las conexiones lineales simétricas que preservan dicho tensor.
Dada una estructura proyectiva y una forma de volumen, existe una y sólo una conexión lineal simétrica de la clase proyectiva que preserva el volumen (Benalmádena, Nomizu-Sasaki)
Una conexión lineal (eventualmente simétrica) preserva algún volumen si y sólo si su Ricci es simétrico. Para una conexión lineal cualquiera, la primera contracción de Riemann (las segunda y tercera contracciones son Ricci y −Ricci) es igual a la parte antisimétrica de Ricci. Luego una conexión lineal preserva algún volumen si y sólo si la primera contracción de Riemann es cero.