El orden diferencial de las principales estructuras geométricas

Ignacio Sánchez Rodríguez
Reunión en el Parador de Ronda
13 de junio de 2007

V Jornada de Acción Coordinada entre los Grupos de Investigación FQM-324 y FQM-327 del Plan Andaluz de Investigación

Introducción

Consideremos que la variedad-objeto M que conlleva las estructuras geométricas es el espacio (eventualmente bidimensional o unidimensional) o el espacio-tiempo.

No pretendo ser exaustivo en el análisis de los diferentes conceptos de estructuras geométricas. Ni es mi propósito elaborar una axiomática o hacer un estudio categorial del tema.

Las estructuras geométricas que consideramos principales son

1. el volumen (una clase de n-formas locales que definen univocamente la medida de regiones n-dimensionales orientadas)
2. la métrica (una métrica riemanniana o pseudo-riemanniana; en este caso, principalmente lorentziana)
3. la conexión (una conexión lineal simétrica)
4. la estructura conforme (una clase de equivalencia de metricas conformemente relacionadas)
5. la estructura proyectiva (una clase de equivalencia de conexiones lineales simétricas con las mismas pregeodésicas)

Hay otras estructuras geométricas más particulares que no consideramos aquí (las paralelizaciones, las dadas por una distribución o por una foliación, las que provienen de un tensor significativo, etc.) y otras estructuras geométricas que se tornan importantes cuando la variedad portadora de la estructura es otra que el espacio o el espacio-tiempo (caso del espacio tangente o el cotangente, o del espacio de estados de un sistema físico arbitrario).

Por otro lado cuando el espacio es "altamente simétrico" aparecen nuevas estructuras más significativas y que determinan unívocamente algunas o todas las estructruras precedentes (variedades afines, espacios euclideos o minkowskianos, etc.).

Trato de seguir un hilo conceptual que se inicia modernamente en Riemann donde la estructura geometrica del espacio trata de expresar algo más que el mero substrato, dado a priori, donde se colocan las cosas o donde suceden los hechos.

La curvatura de Riemann dota al espacio de una ductibilidad insospechada: no sólo es capaz de explicar las geometrías axiomáticas no-euclídeas, sino que abre las puertas a la relatividad general de Einstein, para convertir la estructura del espacio en algo heterogéneo y dinámico.

Una variedad riemanniana o pseudo-riemanniana es definida por una métrica y define unívocamente una de cada una de las otras cuatro estructuras geométricas principales.