D2PO-22   Dos Días sobre Polinomios Ortogonales
Granada, 10 y 11 de noviembre de 2022

Presentación del encuentro


La actividad que proponemos tiene como objetivo la puesta en común, con diversos investigadores nacionales y extranjeros, de las últimas tendencias en la investigación sobre polinomios ortogonales y funciones especiales, así como su conexión con las áreas relacionadas de teoría de la aproximación, teoría de operadores, teoría de números, teoría de la información, series de Fourier, análisis numérico, y sus aplicaciones en física matemática, óptica, ciencia y tecnología. Para ello hemos planificado dos días de charlas invitadas en aspectos punteros de la teoría de polinomios ortogonales.

Ediciones pasadas:

  • Granada 2018
  • Almería 2019


  • Conferenciantes invitados


    Amílcar Branquinho (Universidade de Coimbra, Portugal)


    Applications of quadratic decomposition for bivariate orthogonal polynomials


    In this seminar we describe the bivariate polynomial sequences orthogonal to a symmetric weight function in terms of several bivariate polynomial sequences orthogonal with respect to Christoffel transformations of the initial weight under a quadratic transformation. We analyze the construction of a symmetric bivariate orthogonal polynomial sequence from a given one, orthogonal to a weight function defined on the positive plane. In this description plays an important role a sort of Backlund type matrix transformations for the involved three term matrix coefficients. We take as a case study relations between symmetric orthogonal polynomials defined on the ball and on the simplex.

    This is a joint work with Teresa Peréz (U Granada) and Ana Foulquié Moreno (U Aveiro)

    María José Cantero (Universidad de Zaragoza)


    Wall polynomials: a tool for Khrushchev's formula


    Khrushchev's formula was introduced in 2001 by Sergei Khrushchev to take advantage of continued fraction methods to study Orthogonal Polynomials on the Unit Circle (OPUC). In this analysis a special role is played by the so-called Wall polynomials.
    He manages to obtain new and profound results in OPUC theory that surprise the scientific community and revolutionize this theory. The key to reaching these results is the so-called Khrushchev's formula that identifies the Schur function of the orthogonality measure modified by the corresponding OPUC.
    Curiously, the analogue of Khrushchev's formula for Orthogonal Polynomials on the Real Line (OPRL) was not known until 2018, when it was uncovered by Grünbaum and Velázquez. They obtained the OPRL version in the determinate case using an operator theory point of view. Later, the development of Wall polynomials on the real line, allowed to extend Khrushchev's formula to the indeterminate case.
    In this talk we present Khrushchev's formula for OPUC and its translation to OPRL, highlighting the peculiarities that such a transfer entails. We also present a simple diagrammatic proof of this formula on the real line which sheds light on its graph theoretical meaning.

    This is a joint work with L. Moral, L. Velázquez.

    Isabel Cação (University of Aveiro, Portugal)


    A family of hypercomplex orthogonal polynomials and some of their properties


    A generalization of complex function theory to higher dimensions can be done in the framework of Clifford algebras. An important advantage of this approach compared with the classical generalization by several complex variables is that higher-order differential operators can be factorized in terms of lower-order differential operators. An example is the second-order Laplace operator that admits a factorization in terms of first-order differential operators of Cauchy-Riemann type, in a similar way to the one-dimensional complex case. The holomorphic functions are now null-solutions of a generalized Cauchy-Riemann system and are called monogenic or hyperholomorphic.
    We present a family of hyperholomorphic polynomials that generalizes the usual holomorphic powers and that are orthogonal with respect to a generalized hypercomplex inner product. They can served as generators of more general hypercomplex polynomials that form building blocks to the construction of an orthogonal basis for the space of n-dimensional hyperholomorphic polynomials. Moreover, the proposed generalized family is formed by Appell polynomials, they satisfy a second-order differential equation and a three-term type recurrence, among other properties.

    Mirta M. Castro Smirnova (Universidad de Sevilla)


    Time-and-band limiting for matrix valued orthogonal polynomials


    In this talk we try to give a survey of the current state of the problem of time-and band-limiting in connection with matrix valued orthogonal polynomials satisfying differential equations (i.e a bispectral situation).
    For a given family of matrix orthogonal polynomials one considers the global operator defined by a full symmetric matrix or an integral operator, given by the truncated inner products. The problem is to search for a local operator given by a narrow band matrix or a differential operator (respectively), with simple spectrum, commuting with this operator. The existence of a commuting local operator is very useful to compute numerically the eigenfunctions of the given global operator.

    This question is motivated by the work of Claude Shannon and a series of papers by D. Slepian, H. Landau and H. Pollak at Bell Labs in the 1960's.

    Carmen Escribano (Universidad Politécnica de Madrid)


    Autovalores generalizados de matrices de momentos, densidad polinomial y soportes de medidas.


    En esta charla se presentarán algunos resultados sobre el problema aproximación polinomial en $L^2(\mu)$, para una medida $\mu$ en el plano complejo, que han sido obtenidos a través de un enfoque matricial. Concretamente, el enfoque se ha basado en el análisis del comportamiento asintótico de los autovalores generalizados de las secciones finitas de las matrices de momentos asociadas a una o varias medidas con soporte en el plano complejo.
    En primer lugar, se mostrar&aacutte; cómo el comportamiento asintótico de los autovalores mínimos de las secciones finitas de estas matrices repercute en la densidad polinomial. En el caso de medidas cuyo soporte es una curva de Jordan, se presentará una caracterización de la aproximación polinomial en términos de ciertos índices asociados a problemas de optimización matricial.
    En esa misma línea, el concepto de autovalor generalizado entre matrices de momentos de dos medidas permitirá comparar, en cierto sentido, las medidas para obtener reultados más generales de aproximación, así como otras propiedades de las medidas en relación a sus soportes.
    Finalmente mostraremos algunas aplicaciones al problema de acotacin del conjunto de ceros de los polinomios ortogonales de Sobolev.

    Los resultados mostrados en esta charla son parte de varios trabajos de investigación en colaboración con Raquel Gonzalo y Emilio Torrano.

    Referencias
    [1] C. Berg, R. Szwarc. The smallest eigenvalue of Hankel matrices. Constr. Approx., 34: 107-133 (2011).
    [2] C. Escribano, R. Gonzalo, Torrano. Small eigenvalues of large Hermitian moment matrices. J. Math. Anal. Appl., 374: 470-480 (2011).
    [3] C. Escribano, R. Gonzalo, ,E. Torrano. A characterization of polynomial density on curves via matrix algebra. Mathematics, 7: 1231, (2019).
    [4] C. Escribano; R. Gonzalo, E. Torrano. Smallest and largest generalized eigenvalues of large moment matrices and some applications. ArXiv 2203.15453 (2022).

    Chelo Ferreira (Universidad de Zaragoza)


    Convergent and asymptotic expansions of Laplace transforms


    Watson's Lemma provides an asymptotic expansion of Laplace transforms for large values of the transformation parameter $z$. It is a useful tool in the asymptotic approximation of special functions that have an integral representation in the form of the Laplace transform of a certain function $f(t)$. But in most of the important examples of special functions, the asymptotic expansion derived by means of Watson's Lemma is not convergent. We investigate a modification of Watson's Lemma that transforms the unbounded integration interval $[0,\infty)$ of the Laplace transform into the bounded interval $(0,1]$. Then, we derive an asymptotic expansion of the transformed integral for large $z$ that it is convergent under a mild condition over the function $f(t)$. Moreover, we extend the idea to two dimensions, deriving asymptotic expansions of two-dimensional Laplace transforms for large values of the two transformation parameters that are also convergent. The expansions are accompanied by error bounds. Some examples of special functions are given as illustration, deriving new convergent and asymptotic expansions of these functions.

    Joint paper with José L. López, Pablo Palacios, Pedro Pagola and Ester Pérez Sinusía.

    María Ángeles García Ferrero (Basque Center for Applied Mathematics)


    Exceptional Jacobi polynomials


    Exceptional orthogonal polynomials arise as eigenfunctions of Sturm-Liouville problems and form complete bases in Hilbert spaces despite the fact of missing some degrees.
    In this talk we will focus on those which generalize the classical Jacobi polynomials. We will see how we can construct exceptional Jacobi polynomials from the classical ones beyond the standard method. We will also discuss different properties which can be expected depending on the parameters of the original family.

    This is a joint work with D. Gómez-Ullate and R. Milson.

    Fátima Lizarte (Universidad de Cantabria)


    Sobre la energía logarítmica mínima en la 2-esfera


    Smale, ganador de la medalla Fields en 1966, elaboró una lista de 18 problemas a finales del siglo XX, reuniendo algunos de los principales retos matemáticos para el siglo XXI. El problema número 7 es dar una descripción simple y eficiente, o alternativamente describir un algoritmo, para colocar $N$ puntos en la 2-esfera tal que su potencial logarítmico esté muy cerca del mínimo. Una dificultad importante en este problema es que el valor de la energía logarítmica mínima de $N$ puntos en la esfera no se conoce completamente. Su conocimiento actual es: $$ \kappa N^2-\frac{1}{2}N\ln N +C_{\log} N+o(N), $$ siendo $\kappa$ la energía continua y $C_{\log}$ una constante tal que $$ -0.0568\ldots=\ln 2- \frac34\leqslant C_{\log} \leqslant 2\ln 2+\frac12\ln\frac23+3\ln\frac{\sqrt{\pi}}{\Gamma(1/3)}=-0.0556\ldots, $$ donde la cota inferior ha sido probada por Lauritsen usando resultados sofisticados. De hecho, la cota superior ha sido conjeturada a ser una igualdad y es uno de los problemas abiertos más importantes del área. En esta charla, presentaré una prueba alternativa para la cota inferior de $C_{\log}$, llegando al mismo valor mediante un cálculo directo. También mostraré cómo este nuevo enfoque se puede generalizar para obtener cotas inferiores para la energía de Green en $\mathbb{S}^n$.

    Esto es un trabajo conjunto con Carlos Beltrán.

    Referencias
    [1] Beltrán, C., Corral, N. and G. Criado del Rey, J. (2019) Discrete and continuous green energy on compact manifolds. J. Approx. Theory, 237, 160-185.
    [2] Lauritsen, A. B. (2021) Floating Wigner crystal and periodic jellium configurations. J. Math. Phys., 62, 083305.
    [3] Beltrán, C. and Lizarte, F. (2022) A lower bound for the logarithmic energy on S2 and for the Green energy on Sn. ArXiv:2205.02755 [math.CA]

    Juan Francisco Mañas (Universidad de Almería)


    Asintótica tipo Mehler--Heine para diferentes familias de polinomios ortogonales


    En esta charla haremos un breve repaso histórico por los resultados sobre asintótica tipo Mehler--Heine para diferentes familias de polinomios ortogonales y polinomios hipergeométricos. Este tipo de asintótica tiene como principal propiedad establecer una relación límite entre los polinomios con un reescalamiento adecuado de la variable y funciones de Bessel de primera especie. A continuación, mostraremos este tipo de asintótica local para una familia de polinomios $q$-hipergeométricos y, como consecuencia, obtendremos las fórmulas tipo Mehler--Heine para algunas familias de $q$-polinomios ortogonales.
    Finalmente, usando el teorema de Hurwitz, se puede establecer una interesante relaci&oaucte;n entre los ceros reescalados de los polinomios $q$-hipergeométricos y los ceros de funciones de $q$-Bessel de primera especie (para más detalles ver [1]).
    Este es un trabajo conjunto con Juan J. Moreno Balcázar.

    Referencias
    [1] J.F. Mañas, J.J. Moreno-Balcázar, Asymptotics for some $q$-hypergeometric polynomials Results Math. Accepted

    Francisco Marcellán (Universidad Carlos III de Madrid)


    Polinomios ortogonales asociados a truncamientos de la distribución normal


    En esta presentación estudiaremos propiedades analíticas de polinomios ortogonales respecto a medidas definidas por truncamiento de la distribución normal. En particular, consideraremos el caso en que el soporte es un intervalo simétrico $(-t, t)$ (los llamados polinomios de Rys). Son polinomios semiclásicos y simétricos de los que analizaremos la relación de recurrencia a tres términos, con estimaciones de sus parámetros (que dependen de $t$), los operadores de creación y aniquilación asociados y deduciremos la correspondiente ecuación holonómica que satisfacen dichos polinomios de manera que surge de manera natural una interpretación electrostática de sus ceros. Asimismo estudiaremos su comportamiento dinámico en función de $t$ y establecemos la conexión con una perturbación de Toda de la medida de Lebesgue en el intervalo $(-1,1)$. Este tipo de polinomios aparece en Química Cuántica y el estudio de sus ceros para abordar de manera eficiente las correspondientes fórmulas de cuadratura Gaussiana ha sido objeto de atención durante los últimos años.

    Este es trabajo conjunto con Diego Dominici, Department of Mathematics, State University at New Paltz.

    Misael E. Marriaga (Universidad Rey Juan Carlos)


    Zernike-Sobolev polynomials and orthogonal expansions on the unit ball


    For $\mu\geq0$, let $$ (f, g)_\mu = f(0) g(0) + \lambda\int_{B^d} \nabla f(x) \cdot \nabla g(x) (1 - ||x||^2)^\mu \, dx,\, \lambda > 0, $$ be a Sobolev inner product deined on the linear space of polynomials of $d$ variables. Here $\nabla f$ is the gradient of $f$, $B^d$ is the unit ball of $\mathbb{R}^d$ and $||x||$ is the usual Euclidean norm of $x \in \mathbb{R}^d$. In this work, we determine an explicit orthogonal polynomial basis associated with $(\cdot,\cdot)_\mu$ and study approximation properties of Fourier expansions in terms of this basis. In particular, we deduce relations between the partial Fourier sums in terms of the Sobolev polynomials and the partial Fourier sums in terms of the classical ball polynomials. We give an estimate of the approximation error by polynomials of degree at most n in the corresponding Sobolev space.
    Joint work with: Marlon J. Recarte, Teresa E. Pérez, Miguel A. Piñar.

    References
    [1] Dai F., Xu Y., Approximation theory and harmonic analysis on spheres and balls, Springer Monographs in Mathematics, Springer, New York, 2013.
    [2] Dunkl C.F., Xu Y., Orthogonal polynomials of several variables, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Vol. 155, 2nd ed., Cambridge University Press, Cambridge, 2014.
    [3] Pi~nar M. A., Xu Y., Best polynomial approximation on the unit ball, IMA Journal of Numerical Analysis, Vol. 38, Issue 3 (2018), 1209-1228.

    Ramón Orive (Universidad de La Laguna)


    From Orthogonal Polynomials to Riesz Equilibrium Problems. The case of unbounded conductors


    In our case, the study of the asymptotic behavior of orthogonal polynomials led us to delve into the study of equilibrium problems for logarithmic potentials and, in turn, for general Riesz potentials. In this talk, after briefly reviewing these connections, we shall focus in the case of Riesz equilibrium problems for unbounded conductors. We shall present some recent results about existence and compactness of the equilibrium measure.

    This talk is based on a recent work with P. Dragnev (PFW, IN, USA), E. B. Saff (Vanderbilt Univ., Nasville, TEN, USA) and F. Wielonsky (Univ. Aix-Marseille, France).

    Joaquim Ortega Cerdà (Universidad de Barcelona)


    Desigualdades hipercontractivas de polinomios


    Si dotamos los polinomios de grado $n$ con la norma de Bombieri tenemos un espacio de Hilbert con núcleo reproductor. Demostraremos que todo funcional convexo de la norma del espacio alcanza su extremo en el núcleo reproductor.
    Esto permite dar una nueva demostración muy elemental de una conjetura física sobre el comportamiento de la entropía de Wherl para estados coherentes de Bloch que fue demostrada inicialmente por Lieb y Solowej. Asimismo obtendremos resultados análogos a la desigualdad de Faber-Krhan en el contexto de los polinomios.

    Este es un trabajo conjunto con N. Fabio, A. Kulikov y P. Tilli.

    Horario



    Jueves 10
    9:00-9:30 Bienvenida
    9:30-10:15 TBA
    10:15-11:00 TBA
    Coffee Break
    11:30-12:15 TBA
    12:15-13:00 TBA
    13:00-13:45 TBA
    Almuerzo
    16:00-16:45 TBA
    16:45-17:30 TBA
    Cofee Break
    18:00-18:45 TBA
    18:45-19:15 TBA
    Viernes 11
    9:30-10:15 TBA
    10:15-11:00 TBA
    Cofee Break
    11:30-12:15 TBA
    12:15-13:00 TBA
    13:00-13:45 TBA
    13:45-14:15 TBA
    Clausura
    Almuerzo
    Visita cultural

    Inscripción


    Si desea participar, por favor, envíe un email a la dirección de correo electrónico se.rgu@ayog con los siguientes datos (incluya la palabra "D2PO-22" en el asunto).

    Datos de inscripción:
    Nombre: APELLIDOS, Nombre
    Institución: (Departamento, Universidad, Instituto,...)
    Dirección completa
    E-mail: ...@...
    Presento un póster: Sí / No
    (en caso afirmativo, no olvide adjuntar título y resumen en formato LaTeX)
    Observaciones: ...


    La fecha límite para realizar la inscripción es el 16 de octubre de 2022.

    Pósteres


    Los participantes podrán presentar un póster (horizontal o vertical) durante la celebración del workshop. Envíe título y resumen junto con los datos de inscripción.

    Información de interés


    Lugar de celebración del workshop


    Residencia Universitaria Carmen de la Victoria
    Cuesta del Chapiz, 9 18010 - Granada
    Página web




    Cómo llegar a Granada


  • GranadaInfo.com


  • Hoteles


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  • Casa Morisca Hotel (Cuesta de la Victoria, 9)
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  • Catalonia Granada (Av. de Madrid, 10)
  • Don Juan (C/ Martínez de la Rosa, 9)
  • Gran Hotel Luna de Granada (Plaza Manuel Cano, 2)
  • Macia Cóndor (Av. de la Constitución, 6)
  • Meliá Granada (C/ Ángel Ganivet, 7)
  • "La casa de la Trinidad" (C/ Capuchinas, 2)
  • Vincci Albayzín Granada (Carrera de la Virgen, 48)
  • Villa Oniria (C/ San Antón, 28)
  • Más sobre el workshop


    Comité científico y organizador

    Antonia M. Delgado (Universidad de Granada)
    Lidia Fernández (Universidad de Granada)
    Clotilde Martínez (Universidad de Granada)
    Teresa E. Pérez (Universidad de Granada)
    Miguel A. Piñar (Universidad de Granada)
    Joaquín Sánchez Lara (Universidad de Granada)




    Lista de participantes

    1. Manuel Alfaro (U. Zaragoza)
    2. Gema Alhama Salés (U.Granada)
    3. Amílcar Branquinho (U. Coimbra, Portugal)
    4. Cleonice Bracciali (U. Estadual Paulista, Brasil)
    5. Isabel Cação (U. Aveiro, Portugal)
    6. María José Cantero (U. Zaragoza)
    7. Mirta Castro (U. Sevilla)
    8. Antonia M. Delgado (U. Granada)
    9. Carmen Escribano (U. Politécnica de Madrid)
    10. Lidia Fernández (U. Granada)
    11. Chelo Ferreira González (U. Zaragoza)
    12. Ana Foulquié (U. Aveiro, Portugal)
    13. David Lara Velasco (U. Granada)
    14. Fátima Lizarte (U. Cantabria)
    15. Juan Francisco Mañas Mañas (U. Almería)
    16. Francisco Marcellán Español (U. Carlos III de Madrid)
    17. Misael Marriaga Castillo (U. Rey Juan Carlos)
    18. Clotilde Martínez Álvarez (U. Granada)
    19. Dieudonne Mbouna (U. Almería)
    20. Marlon Recarte Castellanos (U. Nacional Autónoma de Honduras, Honduras)
    21. Ramón Orive Rodríguez (U. La Laguna)
    22. Joaquim Ortega Cerdà (U. Barcelona)
    23. Teresa E. Pérez (U. Granada)
    24. Miguel A. Piñar (U. Granada)
    25. Joaquín Sánchez Lara (U. Granada)




    Contacto

    Dirección de correo electrónico: se.rgu@ayog




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