6  Distribuciones de probabilidad

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6.1 Probabilidad

Regla de Laplace \[P(A)=\frac{\text{Nº de sucesos favorables a A}}{\text{Nº de sucesos posibles}}\]

NotaEjemplos de aplicación de la regla de Laplace

Veamos algunos ejemplos con el lanzamiento de un dado de seis caras: - \(A=\text{sacar un dos}\), \[P(A)=\frac{\text{Número de caras con 2}}{\text{Nº total de caras del dado}}=\frac{1}{6}=0.167\] - \(A=\text{sacar un número par}\), \[P(A)=\frac{\text{Número de caras con valor par}}{\text{Nº total de caras del dado}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0.50\] - \(A=\text{sacar un número mayor a cuatro}\), \[P(A)=\frac{\text{Número de caras con valor mayor a 4}}{\text{Nº total de caras del dado}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}=0.33\]

Como ilustran los ejemplos anteriores, en el caso de los juegos de azar, la regla de Laplace proporciona una solución satisfactoria para determinar la probabilidad de observar un resultado concreto; se conoce el número de sucesos elementales que es posible observar y cuántos de ellos son favorables al resultado que nos interesa. Sin embargo, en un

6.2 Variable aleatoria

6.3 Distribución normal \(N(\mu,\sigma)\)

6.3.1 Función de densidad \(f(x)\)

\[f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\bigg\lbrace{-\frac{1}{2} \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right)^2 \bigg\rbrace} \] la función

dnorm(x,mu,sigma)

devuelve precisamente el valor de \(f(x)\), es decir, la ordenada de la función de densidad en el valor x. A efectos prácticos, al tratar con la distribución normal, esta función no nos interesa demasiado. Será distinto en el caso de las distribuciones discretas.

6.3.2 Función de distribución \(F(x)\)

El término función de distribución en un valor dado de la variable \(X\), digamos \(x_0\), alude al área bajo la curva definida por la función de densidad desde el valor mínimo posible para \(X\) hasta ese valor \(x_0\). La interpretación de esta función es muy interesante, ya que resulta ser la probabilidad de que la variable \(X\) tome un valor menor o igual a \(x_0\):

\[F(x_0)=\Pr\left(X\le x_0 \right) \]

En R, la función de distribución de una distribución normal con parámetros dados \(\mu\) y \(\sigma\) es pnorm(x,mu,sigma). Si se omiten los valores de \(\mu\) y de \(\sigma\), se asume que estos son los de la distribución normal estándar, es decir, 0 y 1 respectivamente. Veamos algunos ejemplos:

pnorm(90,100,15)

[1] 0.2524925

La probabilidad de que la variable aleatoria \(X\) tome un valor menor o igual a \(x_0\)=90, dado que dicha variable se distribuye de acuerdo a un modelo \(N(\mu=100,\sigma=15)\) es del 25,25%, es decir: \[F(x_0=90)=\Pr\left(X\le 90 \right)=0.2525 \] En otras palabras, el percentil 25 de la distribución \(N(\mu=100,\sigma=15)\) es un valor muy próximo a 90 (90 es exáctamente el percentil 25,25). Para saber el valor exacto del percentil 25 de esa distribución, se recurre a la función qnorm(alfa,mu,sigma), siendo alfa la probabilidad acumulada a la izquierda del valor que se desea determinar:

qnorm(0.25,100,15)

[1] 89.88265

con lo que concluimos que el primer cuartil de la distribución \(N(\mu=100,\sigma=15)\) es exáctamente $x=$89,88.

6.3.3 Obtención de muestras aleatorias

La generación de números aleatorios que tengan una distribución de probabilidad concreta, proporciona una herramienta muy interesante para poder crear y analizar posibles escenarios de interés en el ámbito aplicado. Obtener en R una muestra de \(n\) valores aleatorios que tengan una distribución \(N(\mu,\sigma)\) es inmediato gracias a la función rnorm(n,mu,sigma). Por ejemplo, si se desea una muestra de \(n\)=10 observaciones aleatorias de la distribución \(N(100,15)\), no hay mas que escribir

rnorm(10,100,15)

 [1] 105.59584  94.93307 104.91874 105.89184 122.67428 108.95855  85.12754
 [8] 111.27886  95.42454  92.32842

Conviene definir una variable que contenga estos valores, así podremos manejar la muestra obtenida fácilmente. Por ejemplo, en el código siguiente se asignan los valores a la variable muestra y se obtiene, seguidamente, su media y desviación típica. Observe que ahora los valores obtenidos son diferentes a los anteriores; cada vez que se ejecuta la función, el muestreo se reinicia.

muestra<-rnorm(10,100,15)
mean(muestra)

[1] 96.52487

sd(muestra)

[1] 16.82749

6.3.4 Resumen de funciones

En todas, si se omiten los valores de mu y de sigma se asume que estos son 0 y 1 respectivamente, con lo que se estaría manejando la distribución normal estándar.

• dnorm(x,mu,sigma)

• pnorm(x,mu,sigma)

• qnorm(alfa,mu,sigma)

• rnorm(n,mu,sigma)

6.4 Distribución Uniforme \(U(min,max)\)

6.4.1 Resumen de funciones

En todas, si se omiten los valores de min y de max se asume que estos son 0 y 1 respectivamente.

• dunif(x,min,max)

• punif(x,min,max)

• qunif(alfa,min,max)

• runif(n,min,max)

Uniforme discreta. Extracción de muestras

• sample(n, size, replace=FALSE)

6.5 Distribución binomial \(B(n,p)\)

6.5.1 Resumen de funciones

• dbinom(x, n, p)

• pbinom(x, n, p)

• qbinom(alfa, n, p)

• rbinom(t, n, p)

6.6 Distribución de Poisson \(P(\lambda)\)

6.6.1 Resumen de funciones

• dpois(x,lambda)

• ppois(x, lambda)

• qpois(alfa, lamda)

• rpois(n,lambda)