Estadística. Grado en Enfermería

Reglas básicas del cálculo de probabilidades

Notación

Dados dos sucesos \(A\) y \(B\):

• Suceso complementario de \(A\): denotado habitualmente como \(A^c\), es el suceso formado por todos los resultados posibles del experimento que son diferentes al suceso \(A\)
• Unión de sucesos: \(A \cup B\) es el suceso formado por “ocurre \(A\) o bien ocurre \(B\) o bien ocurren los dos”
• Intersección de sucesos: \(A \cap B\) es el suceso formado por “ocurre \(A\) y ocurre \(B\)”

Probabilidad del suceso complementario: que no ocurra un suceso

\[\boxed{\Pr\left(A^{c}\right) = 1-\Pr\left(A\right)}\]

Ejemplo clínico: La prevalencia de la diabetes de tipo 2 en España es del 11%. Esto quiere decir que, elegido un sujeto al azar de esta población, la probabilidad de que tenga diabetes es

\[ \Pr\left(\text{diabetes}\right)=0.11 \]

El suceso complementario es “no tener diabetes”, y su probabilidad asociada será:

\[ 1-\Pr\left(\text{diabetes}\right)=1-0.11=0.89 \]

Probabilidad de la unión de sucesos: que ocurra un suceso u otro o los dos

Para determinar la probabilidad de que ocurra \(A\) o \(B\) hay que comenzar preguntándose si \(A\) y \(B\) son compatibles (pueden ocurrir a la vez) o incompatibles (no pueden ocurrir a la vez)

1. Sucesos incompatibles (mutuamente excluyentes)

• No pueden ocurrir a la vez: \(\Pr(A \cap B)=0\).
  
• Regla de la unión para sucesos incompatibles:

\[ \boxed{\Pr(A \cup B)=\Pr(A)+\Pr(B)} \]

Ejemplo clínico: Motivo de ingreso en Urgencias Pediátricas. Sabiendo que \(\Pr(\text{fiebre}) = 0.45\) y \(\Pr(\text{trauma}) = 0.20\) (son las prevalencias de cada causa). Un niño no puede ingresar por ambas causas a la vez (son sucesos incompatibles). La probabilidad de que ingrese por una u otra es: \[ \Pr(\text{fiebre} \cup \text{trauma}) = 0.45 + 0.20 = 0.65 \]

2. Sucesos compatibles

• Pueden ocurrir simultáneamente: \(\Pr(A \cap B)>0\).
  
• Regla general de la unión:

\[ \boxed{\Pr(A \cup B)=\Pr(A)+\Pr(B)-\Pr(A \cap B)} \]

Ejemplo clínico: Infección urinaria no complicada (ITU). Aproximadamente el 30% de las ITU cursan con fiebre. La sensibilidad de la PCR para detectar Escherichia coli (el patógeno más habitual) es del 95%. En una muestra clínica se observa que alrededor del 12% de los casos presentan fiebre y PCR positiva a la vez. Se desea calcular la probabilidad de que un paciente con sospecha de ITU presente fiebre o PCR positiva.

La información que conocemos es: \(P(\text{fiebre}) = 0.30\), \(P(\text{PCR}^{+}) = 0.95\), \(P(\text{fiebre} \cap \text{PCR}^{+}) = 0.12\). Entonces \[ \Pr(\text{fiebre} \cup \text{PCR}^{+})= 0.30 + 0.95 - 0.12 = 0.83 \]

Probabilidad de la intersección de sucesos: que ocurra un suceso y el otro

Para determinar la probabilidad de que ocurran \(A\) y \(B\) hay que comenzar preguntándose si \(A\) y \(B\) son independientes (que ocurra uno no afecta a la probabilidad de que ocurra el otro) o dependientes (que ocurra uno sí que afecta a la probabilidad de que ocurra el otro)

1. Sucesos independientes
- Que ocurra uno no modifica la probabilidad del otro.
- Regla de la intersección para sucesos independientes:
\[ \boxed{\Pr(A \cap B)=\Pr(A)\Pr(B)} \]

Ejemplo clínico: En una consulta de enfermería comunitaria se observa que la prevalencia de la hipertensión arterial es del 30%. Por otra parte, la proporción de población vacunada frente a la gripe común es del 40%. Se trata de determinar la probabilidad de que un paciente sea hipertenso y esté vacunado.

La información es \(P(\text{HTA}) = 0.30\), \(P(\text{vacunado gripe}) = 0.40\). Ambos sucesos son compatibles (una persona puede ser hipertensa y estar vacunada)
y no guardan relación causal entre sí, son independientes. Por lo tanto, la probabilidad de que una persona sea hipertensa y esté vacunada es:

\[ \Pr(\text{HTA} \cap \text{vacunado gripe}) = 0.30 \times 0.40 = 0.12 \]

2. Sucesos dependientes
- La probabilidad de uno cambia cuando sabemos que ha ocurrido el otro.
- Probabilidad condicionada: \[ \boxed{\Pr(A \mid B)=\frac{\Pr(A \cap B)}{\Pr(B)}} \]

\(\Pr(A \mid B)\) es “la probabilidad de que ocurra \(A\) sabiendo que ha ocurrido \(B\)”. Es decir, la probabilidad de que coincidan ambos sucesos dividida por la probabilidad de que realmente ocurra el condicionante \(B\).

Si despejamos la probabilidad conjunta, obtenemos:

\[ \boxed{\Pr(A \cap B) = \Pr(A \mid B) \Pr(B)} \]

Ejemplo clínico: En una UCI se observa que la probabilidad de que un paciente desarrolle una neumonía asociada a ventilación mecánica (NAVM) es del \(10\%\). La proporción de pacientes que están intubados es del \(20\%\), pero la probabilidad de desarrollar NAVM entre los intubados es mucho mayor: \(\Pr(\text{NAVM} \mid \text{intubado}) = 0.30\).

Como la probabilidad de NAVM depende de si el paciente está intubado, ambos sucesos son dependientes. La probabilidad de que un paciente esté intubado y además desarrolle NAVM es:

\[ \Pr(\text{NAVM} \cap \text{intubado}) = \Pr(\text{NAVM} \mid \text{intubado})\,\Pr(\text{intubado}) = 0.30 \times 0.20 = 0.06. \]