Anecdotario matemático

Sistemas de numeración

Los sistemas de recuento más primitivos se basaban en el 5, el 10 o el 20, y una de las cuestiones sobre la que es unánime el acuerdo en antropología cultural (y en ello coinciden con Aristóteles) es que este hecho tiene mucho que ver con los cinco dedos que el animal humano tiene en cada mano, o los 10 dedos de ambas, o los 20 si se toman manos y pies. Pero ha habido muchas excepciones. Ciertas culturas aborígenes de Africa, Australia y América del Sur emplearon un sistema binario. Unas cuantas desarrollaron un sistema ternario; se dice que una tribu brasileña contaba con las tres articulaciones de las falanges de los dedos. El sistema cuaternario, es decir, de base cuatro, es todavía más excepcional, y ha estado confinado principalmente a unas pocas tribus sudamericanas y a los indios Yuki de California, quienes contaban con los huecos de separación de los dedos. La difusión de la base cinco ha sido mucho mayor que la de ninguna otra. En muchos idiomas, las palabras que significan «cinco» y «mano» son, o bien la misma, o bien parientes muy cercanas. Pentcha, por ejemplo, significa «mano» en persa, y pantcha es «cinco» en sánscrito. Los Tamanacos, una tribu de indios sudamericanos, usaban para 5 la misma palabra que usaban para decir «una mano entera». El término que designaba al 6 significaba «uno en la otra mano», 7 era «dos en la otra mano», y análogamente para 8 y 9. El 10 era «ambas manos». Para expresar de 11 a 14, los Tarnanacos extendían ambas manos y contaban «uno del pie, dos del pie...», y así sucesivamente hasta 15 que era «un pie completo». Como podemos presumir, el sistema continuaba expresando el 16 como «uno del otro pie», y así hasta 19. La palabra que expresaba veinte era la misma empleada para decir «un indio». El 21 era «uno en la mano de otro indio». «Dos indios» significaba 40, «tres indios», 60. Las antiguas semanas de los Aztecas constaban de cinco días, y hay una teoría según la cual la X con que los romanos denotaban al 10 se deducía de dos V, una de ellas invertida, mientras que la V era una representación de la mano humana.

Con frecuencia los nombres primitivos de los números eran idénticos a los de partes del cuerpo, como dedos de las manos y de los pies, u otras. Aun hoy, cuando hablamos de los «dígitos» refiriéndonos a los números de 0 a 9, estamos dando testimonio de este hecho, pues «dígito» deriva del latín «dígitus», dedo. Hay excepciones graciosas. El nombre maorí del cuatro es «perro», al parecer, por tener éstos otras tantas patas. Entre los Abípones, una tribu sudamericana hoy extinguida, el nombre del cuatro significaba «los dedos del ñandú», tres delante y uno atrás. Extremadamente raros fueron los sistemas de numeración de bases 6 a 9. Según parece, una vez que se vio la necesidad de dar nombre a los números mayores que cinco, se pasó de una mano a otra, y se adoptó el sistema de base 10. Los antiguos chinos usaron ya la base 10, lo mismo que egipcios, griegos y romanos. Una de las curiosidades de la antigua matemática fue el sistema sexagesimal (de base 60), que los babilonios adoptaron de los sumerios, y con el cual alcanzaron adelantos muy notables. (Nuestras formas actuales de expresar tiempos y ángulos son reliquias del sistema babilónico.) Hoy, el sistema de base 10 es casi universal en todo el mundo, incluso en tribus primitivas. En el primer capítulo de su History of Mathematics, cuya primera edición data de 1925, David Eugene Smith da cuenta de un estudio en 70 tribus africanas que revela que todas ellas utilizaban el sistema de base 10.

Superado el 5, muy pocos sistemas de numeración han tenido por base números primos. En A Short Account of the History of Mathematics (cuarta edición, 1908), W. 51. Rouse Ball cita tan sólo el sistema de base 7 de los Bolas, una tribu del Africa occidental, y el sistema de base 11 de los primitivos Maoríes, aunque no puedo certificar la exactitud de estas afirmaciones. Los sistemas vigesimales (de base 20; dedos de manos y pies) fueron cosa corriente. El ejemplo Maya es tal vez el más sobresaliente. Por valerse ya del cero y del principio de notación posicional (las cifras tienen distinto valor según el lugar que ocupan) fue uno de los más perfectos de los antiguos sistemas de numeración, muy superior, desde luego, al torpón sistema romano. (Esta afirmación saca de quicio a los convencidos del relativismo cultural, pues propone un juicio de valor que se salta a la torera fronteras culturales.) Todavía pervive el sistema de base 20 en idiomas como el francés (donde 80 se llama quatre-vingts), o el inglés (donde 80 puede llamarse también fourscore), y muy particularmente en el danés, donde los nombres de los números están basados en una curiosa combinación de los sistemas decimal y vigesimal. La evidente relación de 5 y 10, que fueron las bases de numeración más habituales de la antigüedad, con los dedos de una o las dos manos, ha sugerido a muchos autores de ciencia ficción basar los sistemas de numeración de sus humanoides extraterrestres en el número de dedos que posean. (Es de suponer que en la cultura de dibujos animados creada por Walt Disney se utilizan sistemas de bases 4 u 8, pues sus personajes tienen sólo cuatro dedos en cada mano.) Ahora que el sistema decimal está tan universalmente establecido, no parece caber la posibilidad de que la raza humana se convierta a otro sistema de numeración, a pesar de que el sistema duodecimal (de base 12) sí presenta algunas ventajas prácticas, por tener su base cuatro divisores, frente a los dos que tiene la base decimal. Durante siglos el sistema duodecimal ha tenido sus entusiastas. Por otra parte, al tomar como base números primos, como 7 ú 11, se disfruta de ciertas ventajas técnicas, que ya defendió en el siglo XVIII el matemático francés Joseph Louis Lagrange, si bien tajes ventajas alcanzarían solamente a los especialistas en teoría de números, y a pocos más. Muchos matemáticos han abogado por el empleo de bases que fueran potencia de 2, como 8 ó 16. «Como no cabe duda de que nuestros antepasados dieron nacimiento al sistema decimal usando los dedos para contar», escribía W. Woolsey Johnson en el Bulletin of the New York Mathematical Society (octubre de 1891, p. 6) «debemos lamentar profundamente, vistos los méritos del sistema octonario, que incurrieran en la perversión de contar entre los dedos a los pulgares, no obstante haberlos diferenciado la naturaleza lo suficiente—o así debió pensarlo— para salvar de tal error a nuestra raza». Donald E. Knuth ha descubierto que en 1718 Emanuel Swedenborg escribió un tratado de título Un nuevo método de cálculo que pasa cuenta en 8 en lugar de en 10, como es costumbre, traducido al inglés por Alfred Acton y publicado por la Swedenborg Scientific Society, de Filadelfia, en 1941. Swedenborg da una nueva nomenclatura para los dígitos, y concluye: «Si la práctica de este uso y el uso de esta práctica llegan a dar su aprobación, imagino que el mundo culto obtendrá ganancias increíbles de este cálculo octonario». Por cierto, que recientemente se ha descubierto que los cuervos son capaces de contar hasta 7. Véase «The Brain of Birds», por Laurence Jay Stettner y Kenneth A. Matyniak, en Scientific American, junio de 1968. Los modernos ordenadores han venido desde muy atrás empleando aritmética octal (de base 8); más recientemente, la aritmética «hexadecimal» de base 16, cuyos dígitos se llaman 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, ha llegado a ser parte importante de los ordenadores.

Al igual que entre las sociedades primitivas hubo diversidad en la elección de base de numeración, también fueron diversas las formas en que resolvieron el problema de contar. Como la mayoría de la gente es diestra, por lo común la cuenta comenzaba por la mano izquierda, en ocasiones siguiendo formas rituales e invariables; en otras, no. una persona pudiera comenzar la cuenta en el pulgar o en el dedo meñique, bien tocándoselo con un dedo de la mano derecha, bien cerrando los dedos de la izquierda, bien empezando con el puño cerrado y separando los dedos uno por uno. En las Islas Andaman, en el golfo de Bengala, la gente comenzaba por el meñique, e iba tocándose la nariz con los dedos sucesivos. En una isla del estrecho de Torres, entre Australia y Nueva Guinea, se contaba hasta cinco tocándose los dedos de la mano izquierda, pero en lugar de seguir después con la derecha se iban tocando la muñeca izquierda, el codo izquierdo, el hombro y la tetilla del mismo lado, y el esternón. Para proseguir el recuento, invertían este orden hacia el lado derecho del cuerpo. Los matemáticos se han empeñado en destacar que cuando al contar se van tocando sucesivamente los dedos u otras partes del cuerpo, se está manejando el concepto de número ordinal (primero, segundo, tercero, etc.), mientras que al sacar varios dedos de un golpe, como al expresar, por ejemplo, cuatro ranas, se está manejando el concepto de número cardinal (uno, dos, tres, etc.) de un conjunto. Los antiguos griegos tenían un simbolismo manual. muy elaborado para contar desde uno hasta números superiores al millar. Aunque Herodoto lo menciona, poco sabemos de las posiciones de los dedos. Los antiguos chinos y otros pueblos y culturas orientales tenían símbolos dactilares de parecida complejidad, empleados todavía para regatear en los bazares, pues el número expresado puede quedar oculto a los mirones por los pliegues de la ropa. El método romano para expresar números con las manos es mencionado por muchos autores latinos. En el siglo VIII, Beda el Venerable dedicó el primer capítulo de un tratado en latín, El recuento de los tiempos (para calcular, entre otras fechas, de Pascua) a un sistema romano de símbolos dactilares que él amplió hasta un millón. (El símbolo de un millón es el apretón de ambas manos.) Casi todos los manuales de aritmética de los períodos medieval y renacentista daban cuenta de tales métodos.

Aunque los egipcios emplearon el sistema duodecimal en la subdivisión del año (en 12 meses, correspondientes a sus doce dioses principales) y del día (en 12 horas de claridad y 12 de tinieblas), su numeración era decimal y contaba con signos jeroglíficos para las cifras del uno al diez y para cien, mil, diez mil, cien mil y un millón. En la figura se muestran siete jeroglíficos numerales. Los signos para los números no dígitos se forman por yuxtaposición de los básicos, pues no conocieron la notación posicional y el cero. En sus tratados de matemáticas (de los que el más importante es el "papiro de Rhind"), exponen problemas de aritmética y geometría que se refieren a cálculos de contabilidad, cambios mercantiles, mediciones de campos, capacidad de graneros, cantidad de materiales para construcciones de formas geométricas determinadas, etc. Las operaciones de suma y resta se efectúan con base en simples tablas de adición y sustracción de números dígitos, y para multiplicar y dividir utilizaban métodos de sumas sucesivas y comparación.

Los egipcios utilizaban las fracciones, aunque en su simbolismo se concretaban a yuxtaponer los signos correspondientes a un número quebrado simple. Ejemplo: 1/5+1/5+l/5 en vez de 3/5, etc. No obstante, tenían signos especiales para 1/2, 2/3 y 3/4. Los símbolos para 1/2, 1/3 1/4 y 1/5 se muestran en la figura.

Aunque sus nociones geométricas eran teóricamente rudimentarias, en sus aplicaciones prácticas resultaban técnicamente muy hábiles, como lo comprueban sus cálculos de superficies de terrenos con base en las propiedades de triángulos, rectángulos, trapecios y formas piramidales. Además, aplicaron también con éxito notable la Geometría a sus observaciones astronómicas y en la construción de artefactos hidráulicos para la medición del tiempo.

El pensamiento griego consideró más la esencia y atributos de los números que su representación con un sistema gráfico idóneo para expresar con facilidad las diversas cantidades. Los símbolos numerales utilizados en Grecia correspondían a dos sistemas: el llamado "ático" (o de Herodiano) y el que se denomina "alfabético". El sistema ático es similar al romano; emplea básicamente seis símbolos literales, de los que cinco son las iniciales mayúsculas de los nombres de los números. Así, I (iota), es el uno (hen), la unidad;

(pi), es el 5 (pente);

(delta), el 10 (deka); H (eta), el 100 (hekatón); X (khi), el 1.000 (khílioi) y M (my), es el 10.000 (mýrioi). Combinándolos se forman los signos compuestos siguientes:

(gamma y delta, siendo la primera una estilización de la pi), para el 50 (= cinco veces diez);

H (gamma y eta), para el 500;

X (gamma y khi), para el 5.000 y

M (gamma y my), para el 50.000. En la figura hay algunos ejemplos. Así, los diez primeros números naturales serían: I, II, III, IIII,

II,

III,

IIII,

EI sistema alfabético ("decimal") griego hace uso de las 24 letras minúsculas del alfabeto griego regular, más tres adicionales (las antiguas stigma, koppa y sampi) para tener un total de 27, distinguiéndolas a todas como signos numerales mediante un trazo o marca superior. Las nueve primeras (de la alpha a la theta, intercalando la stigma en sexto lugar) representan las unidades simples; las siguientes nueve (de iota a kappa) expresan las decenas, y las nueve restantes, (de rho a sampi), las centenas. Para los millares. decenas y centenas de millar se utilizan marcas inferiores a la izquierda de las letras correspondientes. Ejemplos: ,

= 1.000 ,,

= 10.000, etc. Duplicando estos índices se obtienen los números de orden superior: ,,

= 1.000.000.

El número 1 representa la razón, pues no admite división ni divergencias. También es el Fuego central del cosmos. El 2 simboliza la opinión porque admite divergencia, y es, así mismo, símbolo de la Tierra y la feminidad. El 3, la santidad, porque tiene principio, medio y fin. Además, representa también la masculinidad. El 4, la justicia, pues es un número cuadrado, producto del igual por el igual (2 x 2). El 5, el matrimonio, ya que es la suma del primer par (2, mujer) con el primer impar (3, varón). El 6, la reproducción, pues es el producto del primer par por el primer impar. El 7, la salud, la inteligencia y la luz o el Sol; marca los períodos de la vida como número perfecto: 7, 14, 21, 28, 35, etc. El 8, el amor, la amistad y la destreza. El 9, también la justicia, por ser producto de igual por igual (3 x 3). El 10 es el número sagrado y perfecto, pues es la suma de los cuatro primeros (1 + 2 + 3 + 4 = 10) y la de los cuatro elementos geométricos (1 = punto, 2 = línea, 3 = superficie, 4 = sólido). La síntesis de estas sumas es la tetraktýs, representación triangular de los números primordiales. Toda la aritmogeometría mística se conmovió cuando los mismos pitagóricos encontraron los números irracionales, que no son cociente exacto de dos enteros y, por tanto, resultan inconmensurables.

Obligados por su avanzada computación cronológica, los mayas crearon un notabilísimo sistema de numeración en que se utilizaba la notación posicional y el importante concepto de cero, aproximadamente mil años antes de la invención del sistema "arábigo" en la India y casi 2.000 años antes de que se empleara éste en Europa. La numeración maya es de base 20, pero solamente requiere tres signos: la "concha" (dibujo simplificado de una concha de caracol marino), que representa el cero, el "punto" (el 1), y la "raya" (el 5, probablemente derivado de cinco puntos tachados). La escritura es de abajo hacia arriba. En la figura se muestran los signos del 1 al 15 y algunos ejemplos.

Los mayas tenían también otro sistema de numeración, que se llama "de cabezas", que podría considerarse análogo al sistema de cifras arábigas. Siendo también vigesimal necesitaba disponer de 20 símbolos individuales para los números del 0 al 19. Este sistema se forma con una sucesión básica de catorce jeroglíficos o glifos con figuras de cabezas humanas, diferenciadas entre sí por sus rasgos específicos (las 14 cabezas correspondían a 14 deidades patronas de cada número, del 0 al 13). Los seis símbolos faltantes se forman colocando una parte representativa de la cabeza del 10 (el maxilar inferior, pues este símbolo era una calavera), debajo de las cabezas del 4 al 9, para tener así los glifos del 14 al 19 y completar las veinte cifras necesarias.

En el calendario maya el año regular de 365 días se divide en 18 vicenarios, más un grupo de 5 días aciagos que se denominaban días "sin nombre" o "ponzoña" del año. También los 18 vicenarios tenían su nombre particular, y la designación de los 20 días se hacía con un nombre y un número antepuesto de una sucesión del 1 al 13, numeración que se repetía ininterrumpidamente como en el calendario mexica, a través de los "meses" siguientes. Estos tridenarios formaban en 13 "meses" un grupo de 20 periodos que constituían un ciclo de 260 días llamado tzolkín, en que no se repetía ninguna vez una denominación. Tal ciclo era un "año sagrado", con el que se llevaba la cuenta de los años de edad de una persona, del cual se tomaba el santo patrono según el día del nacimiento y que servía para las ceremonias religiosas. Los sacerdotes-astrónomos mayas efectuaban una corrección asombrosamente precisa para ajustar el calendario de 365 días por año regular, al correspondiente al año solar verdadero de 365^l/₄ días, ó 365.24 días. Tal corrección resultaba de 1/10.000 de día, unos 9 segundos, más exacta que la obtenida intercalando un día cada 4 años (en nuestro año bisiesto) y equivalente a un error de 1 día cada 374.440 años.

Los hindúes empezaron con nueve símbolos diferentes. uno por cada número del uno al nueve. Éstos han cambiado con el tiempo, pero llegaron a Europa en su forma actual en el siglo XVI y ahora se escriben 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Esto, en sí mismo, no fue único. Los griegos y los hebreos, por ejemplo, usaron nueve símbolos diferentes para estos números. En cada caso, los símbolos eran las primeras nueve letras de sus alfabetos. Sin embargo, ambos pueblos continuaron con las siguientes nueve letras de sus alfabetos para designar los números diez. veinte, treinta y así sucesivamente, y con las nueve letras posteriores para los números cien, doscientos, trescientos, etc. Si el alfabeto era suficientemente grande para el objeto (se requieren veintiocho letras para llegar a mil por medio de este sistema) se agregaban letras arcaicas o letras de forma especial. El uso de letras por números dio lugar a confusión con las palabras. Por ejemplo, el número hebreo "quince" hacía uso de dos letras con las cuales empezaba el nombre de Dios (en lenguaje hebreo), por cuyo motivo fue necesario usar otra combinación de letras. Por otro lado, las palabras ordinarias podían ser convertidas en números, sumando el valor numérico de las letras que las componían. Esto se hacía especialmente para las palabras y los nombres de la Biblia (un proceso llamado "gematría") y mediante el mismo se leían toda clase de significados místicos y ocultos. El ejemplo más famoso y familiar es el pasaje, en la Revelación de San Juan, donde el número de "bestias" se da como seiscientas sesenta y seis. Esto indudablemente significaba que alguna cifra contemporánea, la cual era peligroso mencionar abiertamente (probablemente se refería al emperador romano Nerón) tenía un nombre que en letras hebreas o griegas sumaba esa cifra. Sin embargo, desde entonces la gente ha estado tratando de colocar los nombres de sus enemigos dentro de esa suma.

Donde los hindúes mejoraron el sistema griego y el hebreo fue en el uso de las mismas nueve cifras para las decenas, centenas, millares y, en verdad, para cualquier barrote o alambre del ábaco. De esas nueve cifras derivaron los hindúes todos los números; todo lo que se necesitó fue dar a las cifras su valor de posición. La gran innovación hindú fue la invención de un símbolo especial para una hilera intacta del ábaco. A este símbolo los árabes lo llamaron "sifr" que significa "vacío". Esta palabra ha llegado hasta nosotros como una "cifra" o, en forma más corrompida como "cero".

Además de los aportes individuales de varios matemáticos indios, se deben a la matemática hindú dos aportes colectivos de gran trascendencia: la contribución al simbolismo algebraico y el sistema de numeración posicional de base 10. Usaban ya los números positivos y negativos (créditos y débitos), así como el cero como símbolo operatorio. Aunque al simbolismo de los números que utilizamos en la actualidad se les conoce como cifras arábigas, los árabes han sido meros transmisores, no creadores, ya que en la India se utilizaba este sistema anteriormente, si bien con una simbología diferente. Sin embargo, no se sabe con certeza cómo nacieron estas cifras y hay varias leyendas al respecto. La introducción y la generalización del uso del sistema de numeración indoarábigo necesitaron siglos. Los algebristas árabes (entre los que destacó Al-Khuwarizmi, en el siglo IX, de cuyo nombre deriva la palabra algoritmo, y de cuyo libro, escrito en árabe, Hisrab al-abarwa-al-mugabala, se cree que deriva la palabra álgebra) lo fueron utilizando poco a poco y, a partir de ellos y del gran centro cultural de Córdoba, con Abderramán III, en el siglo X, se fue extendiendo por el sur de Europa.