1.2 Datación a escala geológica

Consideremos el caso más simple de una desintegración $A\rightarrow B$. Supongamos que se puede determinar (por ejemplo, mediante métodos quımicos) el número de átomos $N_A(t)$ y $N_B(t)$ presentes en una muestra en el instante $t$. Se tiene:

$$N_A(t) = N_A(0){\rm e}^{-\lambda t}$$ (1)

Dividiendo por $N_A(0)$ y tomando logaritmos

$$-\lambda t = \ln\frac{N_A(t)}{N_A(0)}$$ (2)

de donde, utilizando $N_A(0)=N_A(t)+N_B(t)$ y despejando $t$

$$t = \frac{1}{\lambda}\ln\frac{N_A(t)+N_B(t)}{N_A(t)} = \frac{1}{\lambda}\ln\left(1+\frac{N_B(t)}{N_A(t)}\right)$$ (3)

Dada la constante de desintegracion $\lambda$, la edad de la muestra está determinada por la abundancia relativa $N_B/N_A$ en el instante $t$.

Para obtener la expresión anterior hemos supuesto que inicialmente no hay núcleos hijo presentes $N_B(0)=0$ y que no han escapado átomos $A$ y $B$ de la muestra desde que se formó.

Supongamos ahora que inicialmente hay cierta cantidad $N_B(0)$ de átomos hijo. Ahora se tiene

$$N_A(0)+N_B(0)= N_A(t)+N_B(t).$$ (4)

Puesto que hemos introducido una nueva incógnita, $N_B(0)$, ya no es posible obtenr directamente el tiempo $t$, sino que

$$N_B(t)= N_B(0) + N_A(0) - N_A(t) = N_B(0) + N_A(t)({\rm e}^{\lambda t}-1)$$ (5)

No obstante, en muchos casos de interés también está presente en la muestra un isótopo distinto del hijo $B'$ que, o bien no es radiactivo o bien no se formó a partir de $A$. Si $B'$ es estable entonces su concentración es constante y podemos escribir

$$\frac{N_B(t)}{N_{B'}(t)}= \frac{ N_B(0)}{N_{B'}(0)} + \frac{N_A(t)}{N_{B'}(t)}({\rm e}^{\lambda t}-1)$$ (6)

Las razones $\frac{N_B(t)}{N_{B'}(t)}$ y $\frac{N_A(t)}{N_{B'}(t)}$ pueden medirse en el laboratorio, pero aún aparecen dos incógnitas en esta ecuación: el tiempo $t$ y la razón isotópica inicial $\frac{N_B(0)}{N_{B'}(0)}$.

No obstante, es de esperar que los minerales que tienen orıgenes comunes cristalizaran en la misma época y tengan edades y razones isotópicas idénticas, aunque la concentración de núcleos $A$ pueda ser muy diferente. Por tanto, es de esperar que existan minerales con distintas razones $\frac{N_B(t)}{N_{B'}(t)}$ y $\frac{N_A(t)}{N_{B'}(t)}$ pero con iguales valores de $T$ y $\frac{N_B(0)}{N_{B'}(0)}$. Esta hipótesis se puede verificar representando gráficamente $y= \frac{N_B(t)}{N_{B'}(t)}$ frente a $x=\frac{N_A(t)}{N_{B'}(t)}$ para distintos minerales. La ecuacion (6) corresponde a una lınea recta $y=a+bx$ con $a=\frac{ N_B(0)}{N_{B'}(0)}$ y pendiente $b = {\rm e}^{\lambda t}-1$ de donde se puede determinar la concentración inicial y la edad $t$.

En la figura 1 vemos un ejemplo de este procedimiento aplicado a la desintegración

$$\mbox{$^{87}$Rb $\longrightarrow$\ $^{87}$Sr ($T=4.8 \times 10^10$\ a)}$$ (7)

en donde la comparación se hace con respecto a la concentración del elemento estable $^{86}$Sr. Los datos indican que la edad de la tierra es del orden de $t=4.5 \times 10^9$ años. El buen ajuste lineal indica que la suposición de que no ha habido pérdida de núcleos padre e hijo es correcta.

Figura 1: Método de ratación de Rb/Sr con presencia de $^{87}$Sr. El comportamiento lineal es consistente con la edad comun de los diversos minerales, obteniendose una concentración inicial de $N(^{87}Sr)/N(^{86}Sr)=0.7003 \pm 0.0004$.

Otros métodos similares de datación de minerales de la tierra, luna y meteoritos dan una edad común de $4.5\times 10^9$ a. Los posibles métodos incluyen la desintegraciones

$$\begin{eqnarray*} ^{40}{\rm K} &\longrightarrow& ^{40}{\rm Ar}\\ ^{235}{\rm U} ... ...rm U} &\longrightarrow& \cdots \longrightarrow ^{206}{\rm Pb}\\ \end{eqnarray*}$$