1.3.2 Cálculo del potencial de frenado

Efecto de todos los electrones con parámetro de impacto entre $b$ y $b+db$:

Capa cilíndrica de electrones con radio $b$, anchura $db$ y longitud $dx$.

Volumen:

$$dV=2\pi b db dx$$

Sea $n_e=$ densidad de electrones

Número de electrones en $dV$:

$$dN_e = n_e dV = n_e 2\pi b db dx$$

Pérdida de energía debida a la interacción con estos electrones:

$$-dE = QdN_e = \frac{2Z^2K^2e^4}{m_ev^2b^2}n_e 2\pi b db dx$$

Pérdida de energía por unidad de longitud:

$$-\frac{dE}{dx} = \left(\frac{4\pi K^2e^4n_eZ^2}{m_ev^2}\right) \frac{db}{b}$$

Pérdida total de energía: integrando sobre el parámetro de impacto $\int\frac{db}{b}=\ln b$

$\Longrightarrow$ Dificultades para $b=0$ y $b=\infty$ !!

$\Longrightarrow$ Debe integrase entre un valor mínimo $b_{\rm min}>0$ y un máximo $b_{\rm max}$.

$$-\frac{dE}{dx} = \left(\frac{4\pi Z^2K^2e^4n_e}{m_ev^2}\rig... ...^2K^2e^4n_e}{m_ev^2}\right) \ln\frac{b_{\rm max}}{b_{\rm min}}$$

• $b_{\rm min}$: la máxima energía transmitida a un electrón en reposo corresponde al choque frontal:
  
  $$Q_{\rm max}= 2m_e v^2$$
  
  
  lo que corresponde a $b_{\rm min}$:
  
  $$Q_{\rm max}=\frac{2Z^2K^2e^4}{m_ev^2b_{\rm min}^2}$$
  
  

• $b_{\rm max}$: Para $b$ grande, $Q$ es pequeño y comparable con la energía de ligadura de los electrones $\Longrightarrow$ no pueden considerarse libres.

  Para $b$ muy grande, $Q$ no es suficiente para excitar el átomo.

  $\Longrightarrow$ $Q_{\rm min}$ está relacionado con el potencial de ionización medio del átomo $=I$

  
  

  $$Q_{\rm min} = \frac{2Z^2K^2e^4}{m_ev^2b_{\rm max}^2} \simeq I$$
  
  

Se puede escribir:

$$\ln\frac{b_{\rm max}}{b_{\rm min}} = \frac12\ln\frac{b^2_{\r... ...c{Q_{\rm max}}{Q_{\rm min}} \simeq \frac12\ln\frac{2m_ev^2}{I}$$