1.3.1 Pérdida de energía con parámetro de impacto $b$

• Partícula cargada pesada contra un electrón en reposo

• Incide con parámetro de impacto $b$

• Fuerza atractiva si la carga es $Ze$

• La partícula no modifica su trayectoria

Momento total comunicado al electrón:

$$p_y = \int_{-\infty}^{\infty} F_y dt = \int_{-\infty}^{\in... ...a dt = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{KZe^2}{r^2}\cos\theta dt$$

El promedio de $F_x$ se anula si la velocidad es elevada

Trayectoria:

$$\begin{eqnarray*} \vec{\bf r}(t) &=& vt \hat{\bf i} +b \hat{\bf j} \Longrightarrow r^2 = v^2t^2+b^2 \\ \cos\theta &=& \frac{b}{r} \end{eqnarray*}$$

Integrando:

$$\frac{\cos\theta}{r^2} = \frac{b}{r^3}= \frac{b}{(v^2t^2+b^2)^{3/2}}= \frac{b}{b^3\left(\frac{v^2t^2}{b^2}+1\right)^{3/2}}$$

Cambio de variable: $u=\frac{vt}{b}\Longrightarrow dt = \frac{b}{v}du$.

Integral a calcular

$$= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos\theta}{r^2} dt = \frac{... ...= \frac{1}{bv}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{du}{(1+u^2)^{3/2}}$$

Usamos la integral indefinida:

$$=\int\frac{du}{(1+u^2)^{3/2}} =\frac{u}{(1+u^2)^{1/2}}$$

$\Longrightarrow$

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{du}{(1+u^2)^{3/2}} =\left. \frac{u}{(1+u^2)^{1/2}} \right\vert _{-\infty}^{\infty} =1+1 =2$$

De donde

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos\theta}{r^2} dt =\frac{2}{bv}$$

Momento total comunicado al electrón:

$$p= p_y = \frac{2KZe^2}{bv}$$

Energía cinética transferida al electrón:

$$Q = \frac{p^2}{2m} = \frac{2Z^2K^2e^4}{mv^2b^2}$$

= Energía perdida por la partícula incidente.

la fórmula no es válida para $v\rightarrow 0$ ó $b\rightarrow 0$, ya que $Q\rightarrow\infty$