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ECUACIONES
DIFERENCIALES Y CÁLCULO NUMERICO 3º E.T.S.I. de Caminos, Canales y Puertos —
Curso 2003-2004 Universidad
de Granada Programa 1ª
Parte. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES 1. Preliminares
de ecuaciones en derivadas parciales.
Introducción
a las ecuaciones en derivadas parciales. Clasificación de las ecuaciones en
derivadas parciales lineales de segundo orden. 2.
Ecuaciones elípticas (1). Ecuación de Laplace. Funciones armónicas radiales. Ejemplos. Fórmulas
de Green. Fórmula de representación integral. Teoremas de la media. Principio
del máximo. Ecuación de Poisson. Condiciones de contorno. La ecuación biarmónica:
soluciones radiales. 3.
Series de Fourier. Sistemas ortonormales. Proyección ortogonal y mejor aproximación.
Series de Fourier. Series trigonométricas. Condiciones suficientes para la
convergencia. Desarrollos en senos y cosenos. 4.
Ecuaciones elípticas (II). Método de separación de variables: ejemplos. El problema de valores
propios para el operador laplaciano: ejemplos. 5.
Ecuaciones
parabólicas. Ley de Newton de difusión del calor: justificación matemática e
interpretación ffsica. Problema de valores iniciales. Problema mixto para la
ecuación de difusión. Principio del máximo parabólico. 6. Ecuaciones hiperbólicas. Ecuación de ondas. Problema de Cauchy. Dominio de dependencia y dominio de influencia. Problema mixto para la ecuación de ondas. 2ª
Parte. CÁLCULO DE VARIACIONES 7.
El cálculo de variaciones. Introducción. Funcionales y extremos. Ejemplos:
braquistócrona, lineas geodésicas. Ecuación de Euler. Extremos locales:
condiciones suficientes. Principio variacional de Hamilton. Principio de Fermat. 8.
Funcionales de funciones en varias variables. Ecuación en derivadas parciales de Euler.
Ejemplos: problema de Dirichlet, superficies minimales, ecuación de la cuerda
vibrante y ecuación de la viga. 9.
Extremos condicionados. Problemas con ligaduras funcionales. Ejemplos. Problemas isoperimétricos.
Problemas mixtos. Ejemplos. 10.
Problemas de contorno y cálculo de variaciones. Problemas
de contorno.
3ª
Parte. CÁLCULO NUMÉRICO 1
1 .
Introducción
al Análisis Numérico. Resolución
numérica de sistemas de ecuaciones lineales. Interpolación, derivación e
integración numéricas. 12.
Métodos numéricos en cálculo de variaciones. Introducción.
Método de diferencias finitas de Euler. Método de Ritz: problemas de contorno
y de valores propios. Método de Kantorovich. Método de Galerkin. 13.
Métodos numéricos para ecuaciones elípticas. Método
de diferencias finitas: caso de dominios rectangulares, dominio general. El método
de los elementos finitos. Concepto de elemento finito. Formulación débil de un
problema elíptico. Matriz de rigidez. 14. Métodos numéricos para ecuaciones parabólicas e hiperbólicas. Métodos explícitos e implícitos para la ecuación del calor y la ecuación de ondas. Método de Crank-Nicholson. Método de Galerkjn. BIBLIOGRAFÍA
• J. J. Quesada Molina. Ecuaciones
Diferenciales, Análisis Numérico y Métodos Matemáticos. Editorial Santa
Rita, Granada, 1996. • L. Elsgoltz. Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Variacional. Editorial
Mir, 1983. • M. Smirnov. Problemas de Ecuaciones de la Física-Matemática.Editorial
Mir, 1976. • H. Weinberger. Ecs. Diferenciales en Derivadas Parciales. Editorial Reverté, 1977.
Prácticas con Mathematica a realizar en sesiones de unas dos horas cada una.Se pueden descargar en
el directorio /ftp de la asignatura, bajo
acceso identificado
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