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3.3 Movimiento browniano.

A nivel microscópico, una partícula browniana en $d$ dimensiones efectúa saltos aleatorios de tamaño $\Delta$ en cualquiera de las $d$ direcciones en tiempos múltiplos de $\epsilon$. Macroscópicamente (es decir, tomando los límites $\Delta$ y $\epsilon \to 0$) la correspondiente distribución de probabilidad $\rho({{\boldsymbol{x}}},t)$ obedece una ecuación de difusión típica

$$\partial_t\rho({{\boldsymbol{x}}},t)= D\nabla^2\rho({{\boldsymbol{x}}},t)$$ (3.7)

siendo $D$ el denominado coeficiente de difusión,

$$D= \frac{\Delta^2}{4d\epsilon} \,.$$ (3.8)

Dado que esta ecuación coincide con la de una partícula libre en tiempo imaginario

$$-\hbar\partial_\tau\psi({{\boldsymbol{x}}},\tau)= -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi({{\boldsymbol{x}}},\tau)$$ (3.9)

se deduce que la partícula cuántica sigue un movimiento browniano con coeficiente de difusión

$$D= \frac{\hbar}{2m} \,.$$ (3.10)

Asimismo, la distribución de probabilidad browniana (de una partícula inicialmente en $({{\boldsymbol{x}}}_0,t_0)$) puede expresarse mediante una integral de caminos

$$\rho({{\boldsymbol{x}}},t;{{\boldsymbol{x}}}_0,t_0)= \int_{{{{\bo... ...ac{1}{4D}\int_{t_0}^t \dot{{{\boldsymbol{x}}}}^2(t^\prime) dt^\prime } \qquad ( ) \,.$$ (3.11)

El integrando en esta expresión es la denominada medida de Wiener. De acuerdo con esta medida, los caminos brownianos son continuos con probabilidad uno y no diferenciables en ningún punto también con probabilidad uno.

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