Resumen: In this talk, based in a joint work with Steen Markvorsen, I will tread to explore the relation between capacity, the volume growth, the finiteness of the number of ends and asymptotic planes of minimal submanifolds properly immersed into ambient manifolds with a pole and bounded radial curvatures. We will show upper and lower bounds for the number of ends in terms of the volume growth, in the line of [3,1] and finally, using the finiteness of the volume growth we will provide an upper bound for the capacity of an extrinsic annulus in terms of the volume growth that can be understood as a reverse of the results of [2].

• [1] V. Gimeno and V. Palmer. Volume growth, number of ends, and the topology of a complete submanifold, Journal of Geometric Analysis (2012), 1-22.
• [2] S. Markvorsen and V. Palmer. Transience and capacity of minimal submanifolds, Geom. Funct. Anal. 13 (2003), no. 4, 915-933. MR 2006562 (2005d:58064).
• [3] V.G. Tkachev. Finiteness of the number of ends of minimal submanifolds in Euclidean space, Manuscripta Math. 82 (1994), no. 3-4, 313-330. MR 1265003 (95h:53012).

Veremos cómo se puede adaptar el flujo de Ricci al caso de superficies con singularidades de puntos cónicos. Daremos una enumeración exhaustiva de todos los solitones del flujo de Ricci en superficies cónicas y veremos que en el caso compacto el flujo da una uniformización de las superficies cónicas con ángulos menores que $\pi$.

La parabolicidad es una herramienta fundamental en Análisis Geométrico para tratar una amplia variedad de problemas. En esta charla, tomaremos como espacio ambiente un espaciotiempo Generalizado de Robertson-Walker (GRW) cuyo espacio físico, para cierta familia distinguida de observadores, sea representado por una variedad Riemanniana parabólica. De hecho, consideramos la familia de espaciotiempos GRW espacialmente parabólicos, recientemente introducidos [1]. En estos espaciotiempos, se puede demostrar que una hipersuperficie espacial completa es parabólica si se cumplen ciertas hipótesis de acotación extrínsecas naturales. Este hecho permite obtener diferentes resultados de unicidad para hipersuperficies maximales en dichos espaciotiempos. Por otro lado, los problemas asociados de tipo Calabi-Bernstein son resueltos, obteniendo todas las soluciones enteras de la ecuación de hipersuperficies maximales.

• [1] A. Romero, R.M. Rubio and J.J. Salamanca. Uniqueness of complete maximal hypersurfaces in spatially parabolic generalized Robertson-Walker spacetimes, Class. Quantum Grav., 30 (2013), 115007(1--13).

Analysis tools (PDE's Theory, Functional Analysis, Measure Theory, Harmonic Analysis,...) are often used in Differential Geometry to solve natural problems concerning minimal or constant mean curvature surfaces. Conversely, the use of Geometry as a tool to solve analytical problems is less frequent. In this talk I would like to show that minimal and constant mean curvature surfaces can be used in order to some overdetermined elliptic problems in domains of $\mathbb{R}^n$ (and also in domains of other geometric spaces), i.e. solutions to an elliptic differential equation as $\Delta u = f(u)$ with two boundary conditions. In particular, I will show some results obtained in collaboration with F. Schlenk, A. Ros and F. Morabito.

Hablaremos sobre nuevos avances relativos a las superficies llanas, completas, embebidas en el espacio hiperbólico tridimensional y con singularidades aisladas. Estudiaremos algunas propiedades topológicas y métricas que nos permitirán conocer mejor la geometría global de este tipo de superficies y nos permitirán caracterizar la realización de tales métricas en el hiperbólico.

Resumen: Después de una introducción a variedades con densidades, haré un recorrido sobre lo que se conoce para el flujo por la curvatura media asociada a una densidad en $\mathbb{R}^n$.