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Variedades Diferenciables (4º Curso del Grado en Matemáticas)

TEMARIO:

1.- NOCIONES BÁSICAS:

     1.1. Concepto de variedad diferenciable.

     1.2. Aplicaciones diferenciables entre variedades.

     1.3. Difeomorfismos.

     1.4. Espacios tangente y cotangente.

     1.5. La diferencial de una aplicación diferenciable.

     1.6. Clasificación de aplicaciones diferenciables según el rango de su diferencial.

2- CAMPOS DE VECTORES:

     2.1. Campos de vectores.

     2.2. Flujo de un campo de vectores.

     2.3. Álgebra de Lie de campos de vectores.

3.- FORMAS DIFERENCIALES:  

     3.1. Formas diferenciales exteriores.

     3.2. El álgebra exterior.

     3.3. Diferencial exterior de formas diferenciales.

     3.4. Formas cerradas y exactas.      

     3.5. Producto interior y derivada de Lie.

4.- INTEGRACIÓN EN VARIEDADES:

     4.1.. Integración sobre una superficie.

     4.2 Orientación en variedades.

     4.3. Formas de volumen.

     4.4. Dominios con borde en una variedad orientada.

     4.5. Integra ción de formas diferenciales en dominios de variedades orientadas.

5.- TEOREMA DE STOKES:

     5.1 Orientación inducida en el borde de un dominio con borde diferenciable.

     5.2. Teorema de Stokes sobre una superficie.

     5.3. Teorema de Stokes.

     5.4. Algunas consecuencias: teorema de Green, teorema de la divergencia y teorema clásico de Stokes.

Temario Práctico:

Por cada tema del programa de teoría se complementará con una serie de ejercicios, problemas y/o actividades complementarias relacionados con el mismo.

Guía docente:

https://grados.ugr.es/admin/gestion-guias-docentes/ver/270/11/C2

Bibliografía Fundamental

- AMORES, A.M.: Integración y formas diferenciales: un curso de análisis vectorial, Ed. Sanz y Torres, Madrid, 2001.

- GAMBOA J.M. y RUIZ SANCHO, J.M.: Iniciación al estudio de las variedades diferenciables, 2ª Edición, Sanz y Torres S. L., Madrid, 2006.

- LEE, J.M.: Manifolds and Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, vol. 107, American Matemátical Society, EE.UU., 2009.

- SPIVAK M.: A comprehensive introduction to Differential Geometry, Vol. I-V, Publish or Perish Inc. 1999.

- WARNER, F.: Foundations of differential manifolds and Lie groups, Scott Foresman and Co 1971.

Bibliografía Complementaria:

- BACHMAN, D.: A Geometric Approach to Differential Forms, Birkhauser, 2012.

- GODBILLON, C.: Géométrie différentielle et Mécanique analytique, Collection Méthodes, Hermann, Paris, 1969.

- PÉREZ, J.: Apuntes de Geometría y Topología. http://www.ugr.es/~jperez/papers/GeometriaYTopologia.pdf

Tutorias (primer semestre):

Lunes de 10:00 a 13:00, Martes, Miércoles y Jueves de 12:00 a 13:00. Es obligatorio solicitar cita previa, ya sea presencialmente o por e-mail. fjlopez[at]ugr.es

Curvas y Superficies (2º Curso del  Grado en Matemáticas)

TEMARIO:

1.- CURVAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO

     1.1. Curvas parametrizadas. Curvas regulares. Longitud de arco.

     1.2 Teoría local de curvas regulares planas: curvatura y diedro de Frenet.

     1.3. Teoría local de curvas regulares en el espacio: curvatura, torsión y triedro de Frenet.

     1.4. Teorema fundamental de curvas en el espacio.

2.- SUPERFICIES EN EL ESPACIO

     2.1. Definición de superficie y ejemplos.

     2.2. El cambio de parámetros. Funciones y aplicaciones diferenciables sobre superficies.

     2.3. El plano tangente y la primera forma fundamental.

     2.4. La diferencial de una función y de una aplicación diferenciable. Difeomorfismos.

3.- CURVATURAS DE UNA SUPERFICIE

     3.1. Superficies orientables.

     3.2. Aplicación de Gauss. Endomorfismo de Weingarten. Curvaturas de Gauss y media.

     3.3. Expresiones locales y diferenciabilidad de las curvaturas.

     3.4. Curvaturas y geometría local. Secciones normales y fórmula de Euler.

     3.5. Isometrías locales. Teorema Egregium de Gauss.

4.- ALGUNOS RESULTADOS GLOBALES Y GEODÉSICAS

     4.1. Curvaturas y geometría global. Teoremas de Hilbert, Hilbert-Liebmann y Jellet-Liebmann.

4.2. Geodésicas.

Temario práctico:

Por cada tema del programa de teoría se complementará con una serie de ejercicios, problemas y/o actividades complementarias relacionados con el mismo.

Guía docente:

https://grados.ugr.es/admin/gestion-guias-docentes/ver/270/11/31

Bibliografía Fundamental

- A. M. Amores Lázaro: Curso básico de curvas y superficies. Editorial Sanz y Torres, Madrid, 2001.

- M. P. do Carmo: Geometría diferencial de curvas y superficies. Alianza Universidad Textos, 135. Alianza Editorial, Madrid, 1992.

- L. A. Cordero, M. Fernández y A. Gray: Geometría diferencial de curvas y superficies (con Mathematica). Addison-Wesley Iberoamericana, Wilmington, 1995.

- S. Montiel y A. Ros: Curves and surfaces. American Mathematical Society, Graduate Studies in Mathematics, 69 (2005). Versión en inglés de la edición en castellano publicada por Proyecto Sur de Ediciones, Granada, 1997.

- J. Pérez: Curvas y superficies. Granada, 2014. Disponible en https://wpd.ugr.es/~jperez/wordpress/wp-content/uploads/raizCyS.pdf

Bibliografía Complementaria

- A. F. Costa, M. Gamboa y A. M. Porto: Notas de geometría diferencial de curvas y superficies. Editorial Sanz y Torres, Madrid, 1977.

- J. Oprea: Differential geometry and its applications. Prentice-Hall, N. J. 1997.

- D. J. Struik: Geometría diferencial clásica. Aguilar, Madrid, 1973.

Tutorias (segundo semestre):

Martes, Miércoles y Jueves de 12:00 a 13:00, Viernes de 10:00 a 13:00. Es obligatorio solicitar cita previa, ya sea presencialmente o por e-mail. fjlopez[at]ugr.es

Historia de la Matemática - Geometría (4º Curso del Grado en Matemáticas)

TEMARIO (Parte 4) Historia de la Geometría:

1.- Geometría griega: los Elementos.

2.- El nacimiento de la Geometría Analítica: Descartes y Fermat.

3.- Geometría diferencial: Gauss y Riemann. Geometrías no euclidianas.

4.- El papel unificador del Programa de Erlangen de Klein.

Temario Práctico:

Las prácticas de esta asignatura consisten en búsquedas bibliográficas y exposiciones relacionados con los contenidos teóricos antes expuestos. El temario es el mismo.

Guía docente:

https://grados.ugr.es/admin/gestion-guias-docentes/ver/270/11/F1

Bibliografía Fundamental

- E. T. Bell, Men of mathematics, Pelican books, 1953.

- E. J. Borowski y J.M. Borwein, Collins Dictionary Mathematics, Harper Collings, 2002.

- N. Bourbaki. Elementos de Historia de las Matemática. Alianza Ed. 1976.

- C. B. Boyer, Historia de la matemática, Alianza Universidad Textos, 1986.

- F. Brauer y C. Castillo-Chávez, Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology, SpringerVerlag, 2001.

- C. Coello Coello. Breve historia de la computación y sus pioneros / Carlos A. Coello Coello. Fondo de Cultura Económica. 2003.

- Jean-Paul Collette. Historia de Las Matematicas I y II. Ed. s. XXI 1985.

- L. Corry, Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures, 2nd revised ed., Birkhäuser, 2004.

- F.N. David, Games, Gods and Gambling: A history of Probability and Statistical Ideas, Dover, 1998.

- M. Davis, The Undecidable: Basic Papers on Undecidable Propositions, Unsolvable Problems and Computable Functions, Dover, 2004.

- P. Dombrowsky, 150 years after Gauss, “Disquisitiones generales circa superficies curvas”, Asterisque, 62, 1979.

- R. L. Faber, Foundations of Euclidean and non-Euclidean Geometry, Pure and Appl. Math., 73, Dekker, 1983.

- S. W. Hawking, Dios creó los números, Los descubrimientos matemáticos que cambiaron la Historia, Crítica, 2009.

- M. Kiernan, The development of Galois theory from Lagrange to Artin, Archive for History of Exact Sciences, 8, 40-154. 1971.

- M. Klein, El pensamiento matemático desde la antigüedad hasta los tiempos modernos, Editorial Alianza, 1992.

- F. Klein, Erlangen Program, http://math.ucr.edu/home/baez/erlangen/

- I. Kleiner, A history of abstract algebra, Birkhäuser 2007.

- M. Kline, Mathematical thought thought from ancient to modern times, Oxford University Press, 1972.

- W. R. Knorr, The Ancient Tradition of Geometric Problems, Dover, 1993.

- T. Mitchell, Machine Learning, McGraw Hill, 1997.

- A. Romero, Geometría y Relatividad: una introducción a la geometría básica de la teoría, Rev. Mat. Epsilon, 14 (1998), 305-320.

- K. Rúbnikov, Historia de la matemática, Editorial Mir, 1987.

- S. Russel y P. Norvig, Inteligencia Artificial: un enfoque moderno, Pearson, 2004.

- I. Stewart, Historia de las matemáticas: en los últimos 10.000 años, Ed. Crítica, 2008.

- D.J. Struik, A concise history of mathematics, fourth revised edition, Dover, 1987.

- J.P. Tignol, Galois' Theory of Algebraic Equations, World Scientific, 2001.

- B.L. van der Waerden, Hamilton’s Discovery of Quaternions, Math. Mag. 49, 227-234. 1976.

- B.L. van der Waerden, A History of Algebra, Springer-Verlag, 1985.

Enlaces recomendados:

- Centro Virtual de divulgación de las matemáticas: http://www.divulgamat.net

- The MacTutor History of Mathematics archive: http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/history/

- The Modern History of Computing: https://plato.stanford.edu/entries/computing-history/

- Los Elementos de Euclides: https://euclides.org/

Tutorias (primer semestre):

Lunes de 10:00 a 13:00, Martes, Miércoles y Jueves de 12:00 a 13:00. Es obligatorio solicitar cita previa, ya sea presencialmente o por e-mail. fjlopez[at]ugr.es