1.1.2 Caso relativista

Utilizamos la velocidad de la luz como unidad de velocidad ($c=1$).

conservación $E$-$p$:

$$\begin{array}{l} E=E_1+m = E'_1+E'_2 \\ p = p_1 = p'_1+p'_2 \end{array}$$

Relación $E$-$p$

$$\begin{array}{l} E_1^2-p_1^2 = M^2 \\ E'_1{}^2-p'_1{}^2 = m^2 \\ E'_2{}^2-p'_2{}^2 = m^2 \end{array}$$

Pérdida de energía: $Q=E_1-E'_1$

$$E'_1 = E_1-Q$$ (1)

$$E'_2 = m+Q$$ (2)

Solución:

$$Q= \frac{2mp^2}{M^2+m^2+2E_1m}$$

En función de la energía cinética: $E_1=M+T$

$$Q= \frac{2(E_1^2-M^2)m}{M^2+m^2+2E_1m} =\frac{2(2MT+T^2)m}{(M+m)^2+2Tm} =\frac{(2M+T)T}{\frac{(M+m)^2}{2m}+T}$$

Fracción de energía perdida:

$$\frac{Q}{T} =\frac{2M+T}{\frac{(M+m)^2}{2m}+T} \simeq \frac{2M+T}{\frac{M^2}{2m}+T}$$