1.1.1 Caso no relativista.

Conservación de energía-momento:

$$\left. \begin{array}{l} \mbox{Energ\'{\i}a total: } T = T_1 ... ... total: } p = p_1 = p'_1 + p'_2 \end{array}\right\} \kern 1cm$$

Incógnitas: $T'_1$, $T'_2$.

La segunda ecuación es del tipo $p=a+b$.

$$p^2=a^2+b^2+2ab \Longrightarrow -2ab=a^2+b^2-p^2$$

Elevando al cuadrado:

$$\begin{eqnarray*} 4a^2b^2 = p^4+(a^2+b^2)^2-2p^2(a^2+b^2) \\ p^4+(a^2-b^2)^2-2p^2(a^2+b^2) =0 \end{eqnarray*}$$

$\Longrightarrow$

Conservación del momento
$p^4+(p'_1{}^2-p'_2{}^2)^2-2p^2(p'_1{}^2+p'_2{}^2)=0$

Pérdida de energía:

$$Q=T_1-T'_1=T'_2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} T'_1 = T-Q \\ T'_2 = Q \end{array}\right.$$

Calculemos los factores

$$\begin{eqnarray*} p'_1{}^2-p'_2{}^2 &=& 2MT'_1-2mT'_2 = 2M(T-Q)-2mQ \\ &=& 2... ...2MT'_1+2mT'_2 = 2M(T-Q)+2mQ \\ &=& 2MT + 2(m-M)Q = p^2+2(m-M)Q \end{eqnarray*}$$

Sustituyendo en la conservación del momento:

$$\begin{eqnarray*} &&p^4+[p^2-2(m+M)Q]^2-2p^2[p^2-2(M-m)Q]=0 \\ &&p^4+p^4+4(m+M)... ... 0 \\ &&(m+M)^2Q^2-p^2(m+M)Q+p^2(M-m)Q = 0 \\ &&(m+M)^2Q=2mp^2 \end{eqnarray*}$$

Solución:

$$Q = \frac{2mp^2}{(m+M)^2} = \frac{4mM}{(m+M)^2}\frac{p_1^2}{2M} = \frac{4mM}{(m+M)^2}T_1 \simeq \frac{4m}{M}T_1 = 2mv_1^2$$

Pérdida relativa de energía:

$$\frac{Q}{T_1} = \frac{4mM}{(m+M)^2}\simeq \frac{4m}{M}$$

Ejemplo: Protón $M=938$ MeV

$$\frac{Q}{T_1} = \frac{4\times 0.511}{938}=2.2\times10^{-3}=0.22\%$$

Un protón de 1 MeV necesita unos 400 choques para detenerse.

Las colisiones no suelen ser frontales. La pérdida de energía será significativamente menor