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• 2.3.2.1 Nota respecto a unidades

2.3.2 Momento lineal de los fotones y Relatividad

Las propiedades de los fotones pueden estudiarse en experimentos donde se los hace incidir sobre la materia. Se observa así que, aunque los fotones no tienen masa, tienen un momento lineal $\vec{p}_\gamma$, cuyo módulo es proporcional a su energía

$$E_\gamma= p_\gamma c$$ (11)

Esto es un resultado de la relatividad especial, según la cual la energía y el momento de una partícula con velocidad $v$ son

$$E = \frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ (12)

$$\vec{p} = \frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ (13)

La energía y el momento de una partícula a la velocidad de la luz serían infinitos, lo cual no es físicamente aceptable, a no ser que su masa sea cero, en cuyo caso se obtendría una indeterminación $\frac00$, que podría tener un límite finito. Como los fotones se propagan a la velocidad de la luz, deben tener masa nula.

Del sistema de ecuaciones (12) se deduce que en Relatividad no se cumple la relación clásica entre energía y momento $E=\frac{p^2}{2m}$, sino que la correcta relación energía-momento se obtiene calculando la diferencia de cuadrados:

$$E^2-p^2c^2 = \frac{m^2c^4}{1-\frac{v^2}{c^2}} -\frac{m^2v^2... ...2}{c^2}} = \frac{m^2c^2(c^2-v^2)}{\frac{c^2-v^2}{c^2}}= m^2c^4$$

es decir

$$E^2 = p^2c^2+m^2c^4$$ (14)

$$E = \sqrt{p^2c^2+m^2c^4}.$$ (15)

En el caso particular de una partícula sin masa (fotón)

$$E=\sqrt{p^2c^2} = pc$$ (16)

2.3.2.1 Nota respecto a unidades

De la relación energía-momento (14), o de la relación clásica $E=p^2/2m = \frac12 pv$, se deduce que el momento tiene unidades de $\frac{\mbox{energ\'{\i}a}}{\mbox{velocidad}}$. Una unidad adecuada para medir el momento de las partículas subatómicas con energías del orden del eV es

$$\frac{\rm eV}{c}$$ (17)

Esta unidad no recibe ningún nombre especial y tiene la ventaja, en el caso de los fotones, de que los valores numéricos de la energía en eV y del momento en eV/c coinciden.

Ejemplo Calcular la frecuencia, energía y momento lineal de un fotón con longitud de onda de 1000 Å.

Solución:

$$\nu = \frac{c}{\lambda}=\frac{3\times 10^8 \rm m/s}{1000\times 10^{-10}\rm m}= 3\times 10^{15} \rm Hz$$

Energía:

$$E= h\nu = 4.089\times 10^{-15} {\rm eV s}\times 3\times 10^{15} \rm Hz = 12.27 eV$$

Momento:

$$p= \frac{E}{c} = 12.27 \rm eV/c$$