2 Determinación del tiempo muerto: Método de las dos fuentes.

Partículas por segundo que entran en el detector:

$n_1=$ con la muestra 1

$n_2=$ con la muestra 2

$n_{12}=$ con la muestra conjunta $1+2$

$n_f=$ fondo de radiación

Se verifica:

$$\begin{eqnarray*} n_1-n_f + n_2-n_f &=& n_{12}-f \\ n_1+n_2 &=& n_{12}+f \\ \f... ...\tau} &=& \frac{n'_{12}}{1-n'_{12}\tau} +\frac{n'_f}{1-n'_f\tau} \end{eqnarray*}$$

Despejando el tiempo muerto:

$$\begin{eqnarray*} &&(1-n'_{12}\tau)(1-n'_f\tau) \left[ (n'_1(1-n'_2\tau)+n'_2(1-... ...ft[ (n'_f+n'_{12})n'_1n'_2-(n'_1+n'_2)n'_fn'_{12}\right]\tau^2=0 \end{eqnarray*}$$

(Ecuación de segundo grado).

Definimos los coeficientes:

$$\begin{eqnarray*} X &=& n'_1n'_2-n'_{12}n'_f\\ Y &=& (n'_f+n'_{12})n'_1n'_2-(n'_1+n'_2)n'_fn'_{12}\\ Z &=& \frac{n'_1+n'_2-n'_{12}-n'_f}{X^2}Y\\ \end{eqnarray*}$$

Se tiene la ecuación:

$$Y\tau^2-2X\tau+\frac{X^2Z}{Y} =0$$

Con solución:

$$\begin{eqnarray*} \tau &=& \frac{2X\pm \sqrt{4X^2-4YX^2Z/Y}}{2Y} \\ &=& \frac{2X- \sqrt{4X^2-4X^2Z}}{2Y} \end{eqnarray*}$$

$$\tau=\frac{X}{Y}\left( 1-\sqrt{1-Z}\right)$$

Nótese que $X>0$.

Como $\tau>0$ debe cumplirse $Z>0$.