| Salario medio (euros/hora) | Escolarización (años) |
|---|---|
| 4.45 | 6 |
| 5.77 | 7 |
| 7.31 | 10 |
| 7.81 | 12 |
| 10.67 | 15 |
| 13.61 | 17 |
Estimación en modelos de regresión lineal múltiple
Primeros pasos
Ejercicios
1.- Dado el modelo de regresión lineal simple \(\mathbf{S} = \beta_{1} + \beta_{2} \cdot \mathbf{E} + \mathbf{u}\), donde \(\mathbf{S}\) es el salario medio por hora (medido en euros) y \(\mathbf{E}\) son los años de escolarización, obtenga (usando, al menos, cuatro decimales) la estimación de las cantidades constantes del modelo (interpretando las estimaciones obtenidas) y el coeficiente de determinación corregido, a partir de la siguiente información:
¿Qué interpretación tiene un residuo positivo/negativo?
2.- Dado el modelo de regresión lineal múltiple \(\mathbf{y} = \beta_{1} + \beta_{2} \cdot \mathbf{V} + \beta_{3} \cdot \mathbf{Z} + \mathbf{u}\) con \(n=15\) observaciones y \(k=3\) variables independientes, en los siguientes casos, calcule:
- La estimación de los coeficientes de las variables independientes: \(\widehat{\boldsymbol{\beta}} = \left( \mathbf{X}^{t} \mathbf{X} \right)^{-1} \mathbf{X}^{t} \mathbf{y}\). Interpretación.
- Los errores de la estimación realizada: \(\mathbf{e} = \mathbf{y} - \widehat{\mathbf{y}} = \mathbf{y} - \mathbf{X} \widehat{\boldsymbol{\beta}}\).
- La estimación de la varianza de la perturbación aleatoria: \(\widehat{\sigma} = \frac{\mathbf{e}^{t} \mathbf{e}}{n-k}\).
- La suma de cuadrados totales: \(SCT = \mathbf{y}^{t}\mathbf{y} - n \cdot \overline{\mathbf{y}}^{2}\).
- La suma de cuadrados explicada: \(SCE = \widehat{\boldsymbol{\beta}}^{t} \mathbf{X}^{t} \mathbf{y} - n \cdot \overline{\mathbf{y}}^{2}\).
- La suma de cuadrados de los residuos: \(SCR = \mathbf{y}^{t}\mathbf{y} - \widehat{\boldsymbol{\beta}}^{t} \mathbf{X}^{t} \mathbf{y}\).
- El coeficiente de determinación: \(R^{2} = \frac{SCE}{SCT} = 1 - \frac{SCR}{SCT}\). ¿Se verifica la igualdad? ¿Por qué? Interpretación.
- El coeficiente de determinación corregido: \(\overline{R}^{2} = 1 - (1-R^{2}) \cdot \frac{n-1}{n-k}\).
Responda de forma razonada todas las cuestiones planteadas usando, al menos, cuatro decimales.
(Caso A)
\(\left( \mathbf{y}, \mathbf{X} \right) =\)
y cte V Z
1 -16 1 -7 2
2 -2 1 -6 -3
3 -10 1 -5 1
4 1 1 -4 -2
5 -16 1 -3 4
6 -3 1 -2 -1
7 -9 1 -1 3
8 1 1 0 0
9 14 1 1 -3
10 3 1 2 1
11 20 1 3 -4
12 4 1 4 2
13 16 1 5 -1
14 6 1 6 3
15 18 1 7 -2\(\left( \mathbf{X}^{t} \mathbf{X} \right)^{-1} =\)
cte V Z
cte 0.06666667 0.0000000000 0.0000000000
V 0.00000000 0.0035924233 0.0004898759
Z 0.00000000 0.0004898759 0.0114304376\(\mathbf{X}^{t} \mathbf{y} =\)
y
cte 27
V 571
Z -271(Caso B)
\(\left( \mathbf{y}, \mathbf{X} \right) =\)
y cte X Z
1 -8 1 -7 0
2 -5 1 -6 -1
3 -10 1 -5 1
4 -4 1 -4 -1
5 -5 1 -3 1
6 1 1 -2 -1
7 -2 1 -1 1
8 0 1 0 0
9 5 1 1 1
10 10 1 2 -1
11 10 1 3 1
12 17 1 4 -1
13 10 1 5 1
14 19 1 6 -1
15 20 1 7 0\(\left( \mathbf{X}^{t} \mathbf{X} \right)^{-1} =\)
cte X Z
cte 0.06666667 0.000000000 0.00000000
X 0.00000000 0.003571429 0.00000000
Z 0.00000000 0.000000000 0.08333333\(\mathbf{X}^{t} \mathbf{y} =\)
y
cte 58
X 594
Z -30(Caso C)
\(\left( \mathbf{y}, \mathbf{X} \right) =\)
y cte X Z
1 -15 1 -7 1
2 -9 1 -6 0
3 -8 1 -5 0
4 -4 1 -4 0
5 -3 1 -3 0
6 1 1 -2 0
7 23 1 -1 -7
8 1 1 0 0
9 -15 1 1 7
10 5 1 2 0
11 7 1 3 0
12 13 1 4 0
13 11 1 5 0
14 16 1 6 0
15 18 1 7 -1\(\left( \mathbf{X}^{t} \mathbf{X} \right)^{-1} =\)
cte X Z
cte 0.06666667 0.000000000 0.00
X 0.00000000 0.003571429 0.00
Z 0.00000000 0.000000000 0.01\(\mathbf{X}^{t} \mathbf{y} =\)
y
cte 41
X 544
Z -2993.- Dado el modelo de regresión lineal multiple \(\mathbf{PA} = \beta_{1} + \beta_{2} \cdot \mathbf{P} + \beta_{3} \cdot \mathbf{A} + \mathbf{u}\) donde \(\mathbf{PA}\) es la presión arterial (medida en milímetros de mercurio), \(\mathbf{P}\) el peso (medido en kilogramos) y \(\mathbf{A}\) la altura (medida en metros). Interprete los coeficientes de las variables independientes. ¿Es intuitivo que la altura cambie y el peso no varie?
4.- Dado el modelo de regresión lineal multiple \(\mathbf{S} = \beta_{1} + \beta_{2} \cdot \mathbf{E} + \beta_{3} \cdot \mathbf{G} + \mathbf{u}\) donde \(\mathbf{S}\) es el salario medio por hora (medido en euros), \(\mathbf{E}\) son los años de escolarización y \(\mathbf{E}\) es el género (donde masculino se codifica como 1 y en cualquier otro caso se usa el 0), interprete \(\beta_{1}\), \(\beta_{2}\), \(\beta_{3}\) y \(\beta_{1}+\beta_{3}\)
5.- Dado el modelo de regresión lineal multiple: \[\mathbf{S} = \beta_{1} + \beta_{2} \cdot \mathbf{E} + \beta_{3} \cdot \mathbf{G} + \beta_{4} \cdot \mathbf{G} \times \mathbf{E} + \mathbf{u},\] donde \(\mathbf{S}\) es el salario medio por hora (medido en euros), \(\mathbf{E}\) son los años de escolarización y \(\mathbf{E}\) es el género (donde masculino se codifica como 1 y en cualquier otro caso se usa el 0). Se pide contestar de forma razonada las siguientes cuestiones:
- Obtenga el efecto de la escolarización sobre el salario medio si \((\widehat{\beta}_{2}, \widehat{\beta}_{4}) = (4, 2)\) ó \((\widehat{\beta}_{2}, \widehat{\beta}_{4}) = (4, -3)\).
- ¿Cuál sería la interpretación de \(\beta_{1}\)? ¿Esta interpretación cambia si se centra la variable referente a los años de escolarización?
- ¿Cómo se obtendría el efecto del género sobre el salario medio?
6.- Para cada una de las Comunidades Autónomas de España se dispone de información sobre la tasa de paro, el partido que gobierna y su producto interior bruto (PIB). Se pide contestar de forma razonada las siguientes cuestiones:
- Especifique un modelo económico y econométrico que permita determinar si el PIB y el gobierno del partido NOX influye en la tasa de paro. Interprete el término independiente del modelo econométrico especificado.
- ¿Qué modelo especificaría si sospecha que el efecto del PIB sobre la tasa de paro depende de si gobierna (o no) NOX en una Comunidad Autónoma?
Soluciones
Ejercicio 1
$XtX
cte Escolaridad
cte 6 67
Escolaridad 67 843
$`inversa XtX`
cte Escolaridad
cte 1.4815466 -0.11775044
Escolaridad -0.1177504 0.01054482
$Xty
Salario
cte 49.62
Escolaridad 625.33
$beta
Salario
cte -0.1185413
Escolaridad 0.7512127
$e
Salario
[1,] 0.06126538
[2,] 0.63005272
[3,] -0.08358524
[4,] -1.08601054
[5,] -0.47964851
[6,] 0.95792619
$sigma
[1] 0.6837026
$SCT
[1] 56.2512
$SCE
[1] 53.51639
$SCR
[1] 2.734811
$`R2 = SCE/SCT`
[1] 0.9513822
$`R2 = 1 - SCR/SCT`
[1] 0.9513822
$`R2 corregido`
[1] 0.9392277Ejercicio 2
(Caso A)
$beta
y
cte 1.800000
V 1.918517
Z -2.817929
$e
y
[1,] 1.2654801
[2,] -0.7426845
[3,] 0.6105160
[4,] 1.2382103
[5,] -0.7727302
[6,] -3.7808948
[7,] -0.4276943
[8,] -0.8000000
[9,] 1.8276943
[10,] 0.1808948
[11,] 1.1727302
[12,] 0.1617897
[13,] 1.7894840
[14,] 1.1426845
[15,] -2.8654801
$sigma
[1] 3.105644
$SCT
[1] 1896.4
$SCE
[1] 1859.132
$SCR
[1] 37.26773
$`R2 = SCE/SCT`
[1] 0.9803482
$`R2 = 1 - SCR/SCT`
[1] 0.9803482
$`R2 corregido`
[1] 0.9770729(Caso B)
$beta
y
cte 3.866667
X 2.121429
Z -2.500000
$e
y
[1,] 2.983333333
[2,] 1.361904762
[3,] -0.759523810
[4,] -1.880952381
[5,] -0.002380952
[6,] -1.123809524
[7,] -1.245238095
[8,] -3.866666667
[9,] 1.511904762
[10,] -0.609523810
[11,] 2.269047619
[12,] 2.147619048
[13,] -1.973809524
[14,] -0.095238095
[15,] 1.283333333
$sigma
[1] 4.217063
$SCT
[1] 1385.733
$SCE
[1] 1335.129
$SCR
[1] 50.60476
$`R2 = SCE/SCT`
[1] 0.9634816
$`R2 = 1 - SCR/SCT`
[1] 0.9634816
$`R2 corregido`
[1] 0.9573952(Caso C)
$beta
y
cte 2.733333
X 1.942857
Z -2.990000
$e
y
[1,] -1.14333333
[2,] -0.07619048
[3,] -1.01904762
[4,] 1.03809524
[5,] 0.09523810
[6,] 2.15238095
[7,] 1.27952381
[8,] -1.73333333
[9,] 1.25380952
[10,] -1.61904762
[11,] -1.56190476
[12,] 2.49523810
[13,] -1.44761905
[14,] 1.60952381
[15,] -1.32333333
$sigma
[1] 2.667421
$SCT
[1] 1982.933
$SCE
[1] 1950.924
$SCR
[1] 32.00905
$`R2 = SCE/SCT`
[1] 0.9838577
$`R2 = 1 - SCR/SCT`
[1] 0.9838577
$`R2 corregido`
[1] 0.9811674