El pandeo es un fenómeno estructural donde un elemento esbelto, como un pilar, sufre una flexión lateral repentina bajo carga de compresión, en lugar de solo acortarse. Imagina comprimir un lápiz delgado: en cierto punto, se dobla lateralmente y puede colapsar, incluso si el material es resistente. Esta inestabilidad estructural ocurre a tensiones menores que la resistencia del material, lo que la hace crítica en el dimensionado de pilares, vigas y armaduras en arquitectura.

Este documento explora el pandeo desde sus fundamentos teóricos hasta su aplicación práctica, abordando:

• La teoría de Euler para calcular la carga crítica en pilares ideales, considerando diferentes condiciones de apoyo.
• La normalización de la esbeltez para comparar el comportamiento de pandeo entre materiales y geometrías.
• El modelo Ayrton-Perry, que incorpora imperfecciones reales como curvaturas iniciales.
• Las curvas de pandeo del Eurocódigo 3, usadas en el proyecto de estructuras de acero.
• La derivación del factor de reducción \(\chi\), que vincula teoría y normativa.

Glosario de Términos Clave

Comprender estos conceptos es esencial para proyectar estructuras seguras y eficaces, evitando fallos catastróficos por pandeo.

El pandeo ocurre cuando un pilar esbelto, al ser comprimido, no solo se acorta, sino que se dobla lateralmente de forma repentina. Leonhard Euler desarrolló en el siglo XVIII la teoría fundamental para determinar la carga crítica (\(N_{cr}\)) a la que un pilar ideal pandea, asumiendo condiciones simplificadas que permiten un análisis matemático preciso.

Suposiciones del Modelo de Euler

El modelo de Euler se basa en las siguientes idealizaciones:

• Geometría Perfecta: El pilar es completamente recto, con una sección transversal constante.
• Material Elástico: El material sigue la Ley de Hooke, con deformaciones proporcionales a las tensiones (sin plasticidad).
• Carga Centrada: La fuerza de compresión actúa exactamente a lo largo del eje longitudinal del pilar.
• Condiciones de Apoyo: Los extremos del pilar (articulados, empotrados o libres) determinan la forma de pandeo.

Estas suposiciones permiten modelar el pandeo como un problema de estabilidad elástica, pero limitan su aplicabilidad a pilares reales con imperfecciones.

Derivación de la Carga Crítica (Pilar Biarticulado)

Consideremos un pilar con extremos articulados (libres para girar, fijos en posición), de longitud \(L\), sometido a una carga axial \(N\). El pandeo ocurre cuando el pilar adopta una forma curvada estable. La ecuación diferencial que describe esta deformación es:

Donde \(y(x)\) es la deflexión lateral, \(E\) es el módulo de elasticidad, e \(I\) es el momento de inercia mínimo de la sección. Los pasos para resolver son:

1. Forma de la Solución: La ecuación es de segundo orden, con solución general \(y(x) = A \sin(kx) + B \cos(kx)\), donde \(k = \sqrt{N / (EI)}\).
2. Condiciones de Borde: Para un pilar biarticulado, \(y(0) = 0\) y \(y(L) = 0\). Aplicando \(y(0) = 0\), \(B = 0\). Luego, \(y(L) = A \sin(kL) = 0\), lo que implica \(\sin(kL) = 0\).
3. Condición de Pandeo: Para soluciones no triviales (\(A \neq 0\)), \(kL = n\pi\), donde \(n = 1, 2, \ldots\). El modo fundamental (\(n=1\)) da \(k = \pi / L\).
4. Carga Crítica: Sustituyendo \(k = \sqrt{N / (EI)}\), tenemos \(\sqrt{N / (EI)} = \pi / L\). Elevando al cuadrado y despejando:
   \[ \begin{equation} N = \frac{\pi^2 EI}{L^2} \tag{2}\label{eq:euler_crit_load_pinned} \end{equation} \]

Esta es la carga crítica (\(N_{cr}\)) para un pilar biarticulado. Representa el umbral donde el pilar pasa de estar en equilibrio recto a una configuración curvada.

Longitud Efectiva (\(L_k\))

Las condiciones de apoyo afectan la forma de pandeo y, por ende, la carga crítica. La longitud efectiva (\(L_k = \beta L\)) ajusta la longitud real \(L\) según el factor \(\beta\), que depende del tipo de apoyo:

La fórmula general de la carga crítica es:

Por ejemplo, un pilar empotrado-empotrado (\(\beta = 0.5\)) tiene una carga crítica cuatro veces mayor que un pilar biarticulado de la misma longitud.

Tensión Crítica y Esbeltez

Dividiendo la carga crítica por el área de la sección transversal \(A\), obtenemos la tensión crítica:

El radio de giro se define como \(i = \sqrt{I / A}\), y la esbeltez como \(\lambda = L_k / i\). Sustituyendo, la tensión crítica es:

Esta ecuación muestra que pilares con mayor esbeltez (\(\lambda\) grande) pandean a tensiones más bajas, haciéndolos más vulnerables. En cálculo, \(\sigma_{cr}\) se compara con la tensión de fluencia (\(f_y\)) para determinar si el fallo será por pandeo o por fluencia según el modelo de Euler.

Ejemplo Práctico

Calculemos la carga crítica para un pilar HEB120 (acero S275, \(E = 210000 \, \text{MPa}\), \(A = 3400 \, \text{mm}^2\), \(I_z = 317 \times 10^4 \, \text{mm}^4\)) con \(L = 3 \, \text{m}\), biarticulado:

1. Longitud de pandeo: Para biarticulado, \(\beta = 1.0\), así que \(L_k = L = 3000 \, \text{mm}\).
2. Momento de Inercia: Usamos \(I_z = 317 \times 10^4 \, \text{mm}^4\) (eje débil, más crítico).
3. Carga Crítica: Aplicamos Ec. \eqref{eq:euler_crit_load_general}: \[ N_{cr} = \frac{\pi^2 \cdot 210000 \cdot 317 \times 10^4}{3000^2} \approx 729.3 \, \text{kN} \]
4. Tensión Crítica: \(\sigma_{cr} = N_{cr} / A = 729.3 \times 10^3 / 3400 \approx 214.5 \, \text{MPa}\).
5. Comparación con Fluencia: Como \(\sigma_{cr} < f_y = 275 \, \text{MPa}\), el pilar ideal fallará por fluencia antes que por pandeo.

Este cálculo muestra que, con el modelo ideal, el pandeo es crítico para esta esbeltez. El soporte pandea al alcanzar una tensión media \(\sigma = 0.78 f_y\)

Figura: Tensión Crítica vs. Esbeltez. La curva azul muestra \(\sigma_{cr}\) (Ec. \eqref{eq:euler_crit_stress}) disminuyendo con la esbeltez (\(\lambda\)). La línea roja discontinua representa la tensión de fluencia (\(f_y = 275 \, \text{MPa}\), acero S275). El punto de intersección (\(\lambda \approx 86.8\)) indica el límite donde la fluencia reemplaza al pandeo como modo de fallo.

Uso histórico de la teoría de Euler

Aunque idealizado, el modelo de Euler fue fundamental. La ecuación \(N_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{L_k^2}\) permitía estimar la inercia mínima (\(I_{min}\)) necesaria para un pilar con una longitud de pandeo \(L_k\) y una carga de cálculo \(N_{Ed}\) (aplicando un factor de seguridad adecuado):

Sin embargo, la teoría de Euler sobreestima la capacidad real de los pilares (al no considerar imperfecciones), por lo que históricamente requería el uso de coeficientes de seguridad elevados. Fue una de las primeras herramientas para dimensionar barras comprimidas, dando lugar a ayudas gráficas como ábacos o nomogramas que simplificaban su aplicación en el proyecto, evitando cálculos repetitivos.

La esbeltez (\(\lambda\)) depende de las propiedades específicas del material y la geometría, lo que dificulta comparar el comportamiento de pandeo entre diferentes pilares. La normalización introduce la esbeltez reducida (\(\bar{\lambda}\)), que permite crear curvas universales aplicables a cualquier material o sección.

Esbeltez Límite (\(\lambda_{lim}\))

La esbeltez límite es el valor de \(\lambda\) donde la tensión crítica (Ec. \eqref{eq:euler_crit_stress}) iguala la tensión de fluencia (\(f_y\)):

Despejando \(\lambda_{lim}\):

Para acero S275 (\(E = 210000 \, \text{MPa}\), \(f_y = 275 \, \text{MPa}\)): \[ \lambda_{lim} = \pi \sqrt{\frac{210000}{275}} \approx 86.8 \]

Este valor separa los pilares donde la fluencia domina (\(\lambda < \lambda_{lim}\)) de aquellos donde el pandeo es crítico (\(\lambda > \lambda_{lim}\)).

Esbeltez Reducida (\(\bar{\lambda}\))

La esbeltez reducida normaliza \(\lambda\) respecto a \(\lambda_{lim}\):

Sustituyendo Ec. \eqref{eq:lambda_lim} y Ec. \eqref{eq:euler_crit_stress}, también se expresa como:

Interpretación física:

• \(\bar{\lambda} \leq 1\): \(\sigma_{cr} \geq f_y\), el pilar falla por fluencia antes de pandear.
• \(\bar{\lambda} > 1\): \(\sigma_{cr} < f_y\), el pandeo ocurre antes de la fluencia.

Curva Normalizada de Euler

Para graficar una curva universal, expresamos la tensión crítica normalizada (\(\sigma_{cr} / f_y\)) en función de \(\bar{\lambda}\). Usando Ec. \eqref{eq:lambda_bar}, \(\sigma_{cr} = f_y / \bar{\lambda}^2\). Por lo tanto:

Esta curva es independiente de \(E\) y \(f_y\), lo que la hace útil para comparar diferentes materiales.

Ejemplo Práctico

Para un pilar HEB120 (\(L_k = 3000 \, \text{mm}\), \(i_z = 30.5 \, \text{mm}\)), calculemos \(\bar{\lambda}\):

1. Esbeltez: \(\lambda = L_k / i_z = 3000 / 30.5 \approx 98.4\).
2. Esbeltez Reducida: Usando \(\lambda_{lim} \approx 86.8\), \[ \bar{\lambda} = \frac{98.4}{86.8} \approx 1.13 \]
3. Tensión Normalizada: Como \(\bar{\lambda} > 1\), \(\sigma_{cr} / f_y = 1 / \bar{\lambda}^2 \approx 1 / 1.13^2 \approx 0.78\).
4. Interpretación: \(\sigma_{cr} \approx 0.78 \cdot 275 \approx 215 \, \text{MPa} < f_y\), confirmando que el pandeo es el modo de fallo crítico.

Figura: Tensión Normalizada vs. Esbeltez Reducida. La curva (Ec. \eqref{eq:euler_normalized}) muestra la transición en \(\bar{\lambda} = 1\), donde \(\sigma_{cr} = f_y\). Para \(\bar{\lambda} > 1\), la tensión cae rápidamente, indicando mayor riesgo de pandeo. Esta curva es universal, válida para cualquier material.

En la realidad, los pilares tienen imperfecciones como curvaturas iniciales, excentricidades de carga o tensiones residuales. Estas imperfecciones inducen flexión desde el inicio de la compresión, reduciendo la carga de pandeo respecto al modelo ideal de Euler. El modelo Ayrton-Perry (1886) incorpora estas imperfecciones de forma matemática, usando una curvatura inicial típica de \( e_0 = L_k/200 \), que es comparable a las imperfecciones asumidas en el Eurocódigo 3.

Amplificación de Deformaciones

Supongamos un pilar con una curvatura inicial sinusoidal \( y_0(x) = e_0 \sin(\pi x / L_k) \), donde \( e_0 \) es la amplitud máxima de la imperfección (por ejemplo, \( e_0 = L_k/200 \)). Bajo una carga \( N \), esta curvatura se amplifica debido a la reducción de rigidez. La deflexión total \( y(x) \) se obtiene resolviendo la ecuación diferencial modificada, resultando en:

El factor \( 1 / (1 - N/N_{cr}) \) amplifica la deflexión a medida que \( N \) se acerca a la carga crítica de Euler (\( N_{cr} \)), reflejando la pérdida de estabilidad.

Condición de Colapso

La flexión genera un momento flector \( M = -N y \). En el punto de máxima deflexión (\( x = L_k/2 \)), \( y = e_0 / (1 - N/N_{cr}) \). La tensión total en la fibra extrema combina la tensión axial (\( N/A \)) y la tensión por flexión (\( M/W_{el} \)), donde \( W_{el} \) es el módulo resistente elástico. El colapso ocurre cuando:

Pasos de la derivación:

1. Tensión Axial: \( N/A \) es la tensión promedio por compresión.
2. Momento Flector: El momento máximo es \( M = N e_0 / (1 - N/N_{cr}) \), ya que \( y_{\text{max}} = e_0 / (1 - N/N_{cr}) \).
3. Tensión por Flexión: La tensión por momento es \( M / W_{el} = N e_0 / [W_{el} (1 - N/N_{cr})] \).
4. Condición de Fallo: La suma de tensiones alcanza la tensión de fluencia \( f_y \), dando la Ec. \eqref{eq:perry_collapse}.

Definimos \(\beta = e_0 A / W_{el}\), que depende de la geometría de la sección y la imperfección. Para \( e_0 = L_k/200 \), \(\beta\) varía con la esbeltez (\(\lambda\)), ya que \( L_k = \lambda i \).

Ejemplo Práctico

Consideremos un pilar HEB120 (\( A = 3400 \, \text{mm}^2 \), \( W_{el,z} = 52.8 \times 10^3 \, \text{mm}^3 \), \(\lambda \approx 98.7\), \(\sigma_{cr} \approx 215 \, \text{MPa}\)) con \( e_0 = L_k/200 \). Calculemos la tensión de colapso (\(\sigma\)) según Ayrton-Perry:

1. Longitud Efectiva: \( L_k = 3000 \, \text{mm} \), así \( e_0 = 3000 / 200 = 15 \, \text{mm} \).
2. Factor \(\beta\): \[ \beta = \frac{e_0 A}{W_{el}} = \frac{15 \cdot 3400}{52.8\times 10^3} \approx 0.966 \]
3. Ecuación Cuadrática: Usamos la forma \(\sigma^2 - (\sigma_{cr} + f_y (1 + \beta)) \sigma + f_y \sigma_{cr} = 0\): \[ \sigma^2 - (215 + 275 (1 + 0.966 )) \sigma + 275 \cdot 215 = 0 \] \[ \sigma^2 - 755.65 \sigma + 59125 = 0 \]
4. Resolución: Resolviendo la ecuadrática: \[ \sigma = \frac{755.65 \pm \sqrt{755.65^2 - 4 \cdot 1 \cdot 59125}}{2} \] \[ \sigma = \frac{755.65 \pm \sqrt{571008.8225 - 236500}}{2} = \frac{755.65 \pm \sqrt{334508.8225}}{2} \] \[ \sigma \approx \frac{755.65 \pm 578.367}{2} \] La solución válida (la menor, y que debe ser \( \le f_y \) y \( \le \sigma_{cr} \)) es: \[ \sigma \approx \frac{755.65 - 578.367}{2} \approx \frac{177.283}{2} \approx 88.6 \, \text{MPa} \]
Tensión Normalizada: \(\sigma / f_y = 88.6 / 275 \approx 0.322\).
5. Comparación: Para un pilar perfecto, la tensión de pandeo sería la tensión crítica de Euler, \(\sigma_{cr} = 215 \, \text{MPa}\). La introducción de la imperfección \(e_0\) reduce la capacidad resistente del pilar a \(\sigma \approx 88.6 \, \text{MPa}\). La tensión normalizada obtenida es \(\sigma/f_y \approx 0.322\). Si comparamos este valor con el Eurocódigo 3, para una esbeltez relativa \(\bar{\lambda} \approx 1.134\) (calculada con \(f_y=275 \text{ MPa}\) y \(\lambda=98.4\)) y usando la curva de pandeo 'c' (\(\alpha=0.49\)), el factor de reducción por pandeo sería \(\chi \approx 0.467\).

En este caso particular, la fórmula de Ayrton-Perry y la imperfección \( e_0 = L_k/200 \) (\(\sigma/f_y \approx 0.322\)) es más conservadora (menor resistencia) que el que se obtendría directamente de la curva 'c' del Eurocódigo 3 (\(\chi \approx 0.468\)).

Figura: Pandeo Ideal vs. Imperfecto. La curva azul discontinua representa el pandeo ideal de Euler (Ec. \eqref{eq:euler_normalized}). La curva verde muestra Ayrton-Perry con \( e_0 = L_k/200 \). En línea punteada, la curva c del Eurocódigo (mostrada en el gráfico para comparación) .

El Eurocódigo 3 (EN 1993-1-1) proporciona un marco práctico para proyectar barras comprimidas (soportes) de acero frente al pandeo, usando curvas de pandeo semi-empíricas derivadas del modelo Ayrton-Perry pero calibradas con ensayos experimentales. Estas curvas consideran efectos reales como:

• Imperfecciones geométricas (curvaturas iniciales).
• Tensiones residuales por laminación o soldadura.
• Excentricidades accidentales de la carga.
• Comportamiento plástico del material.

El objetivo es calcular la resistencia de cálculo al pandeo (\(N_{b,Rd}\)) de forma segura y eficiente.

Factor de Reducción (\(\chi\))

La resistencia al pandeo se obtiene reduciendo la resistencia plástica del pilar (\(A f_y\)) mediante un factor \(\chi \leq 1\):

Donde \(\gamma_{M1}\) es el factor parcial de seguridad. \(\chi\) depende de la esbeltez reducida (\(\bar{\lambda}\)) y de la curva de pandeo seleccionada.

Curvas de Pandeo

El Eurocódigo define cinco curvas de pandeo (a₀, a, b, c, d), cada una asociada a un coeficiente de imperfección \(\alpha\). La elección de la curva depende del tipo de sección, eje de pandeo y proceso de fabricación:

• Curva a₀ (\(\alpha = 0.13\)): Tubos laminados en caliente de pared gruesa.
• Curva a (\(\alpha = 0.21\)): Perfiles I o H, eje fuerte, relación altura/anchura \(h/b > 1.2\).
• Curva b (\(\alpha = 0.34\)): Perfiles I o H, eje fuerte, \(h/b \leq 1.2\).
• Curva c (\(\alpha = 0.49\)): Perfiles I o H, eje débil; tubos conformados en frío.
• Curva d (\(\alpha = 0.76\)): Secciones esbeltas o con soldaduras críticas.

Un mayor \(\alpha\) implica una curva más conservadora (menor \(\chi\)), reflejando mayores imperfecciones.

Figura: Curvas de Pandeo del Eurocódigo. Cada curva muestra cómo \(\chi\) disminuye con \(\bar{\lambda}\). Las curvas a₀ y a son menos conservadoras, adecuadas para secciones robustas; las curvas c y d son más seguras, para secciones con mayores imperfecciones o sensibilidad al pandeo.

Ejemplo Práctico

Calculemos la resistencia al pandeo para un pilar HEB120 (acero S275), con área \( A = 3400\,\text{mm}^2 \), radio de giro \( i_z = 30.5\,\text{mm} \), y límite elástico \( f_y = 275\,\text{MPa} \). Longitud de pandeo \( L_k = 3\,\text{m} \), pandeando sobre el eje débil (curva c, \( \alpha = 0.49 \)):

1. Esbeltez: \( \lambda = \frac{L_k}{i_z} = \frac{3000}{30.5} \approx 98.36 \)
2. Esbeltez reducida: usando \( \lambda_{\text{lim}} \approx 88.9 \) (Ec. \eqref{eq:lambda_lim}), \( \bar{\lambda} = \frac{98.36}{88.9} \approx 1.106 \)
3. Factor \( \phi \) (Ec. \eqref{eq:phi_definition}): \[ \phi = 0.5 \left[1 + 0.49 (1.106 - 0.2) + 1.106^2 \right] \approx 1.334 \]
4. Factor \( \chi \) (Ec. \eqref{eq:chi_formula}): \[ \chi = \frac{1}{1.334 + \sqrt{1.334^2 - 1.106^2}} \approx 0.471 \]
5. Resistencia de cálculo (Ec. \eqref{eq:nb_rd}, \( \gamma_{M1} = 1.05 \)): \[ N_{b,\text{Rd}} = 0.471 \cdot 3400 \cdot 275 \cdot 10^{-3} \approx 419\,\text{kN} \]

Esta resistencia garantiza que el pilar es seguro frente al pandeo bajo una carga de hasta 440 kN.

Comparación con Modelos Teóricos

Figura: Comparación de Modelos. La curva gris (Euler normalizado, Ec. \eqref{eq:euler_normalized}) asume un pilar ideal. La curva naranja (Ayrton-Perry, \(e_0 = L_k/200\)) considera imperfecciones geométricas. La curva azul (curva c, Eurocódigo) es más conservadora, incorporando efectos adicionales como tensiones residuales y plasticidad.

Calculadora de pandeo

Puedes experimentar con distintos tipos de perfiles en la calculadora de pandeo.

El factor de reducción \(\chi\) del Eurocódigo 3 es una adaptación del modelo Ayrton-Perry, ajustada con un coeficiente de imperfección \(\alpha\) calibrado experimentalmente para reflejar efectos reales. A continuación, derivamos \(\chi\) paso a paso desde la condición de colapso de Ayrton-Perry.

Paso 1: Condición de Colapso

Partimos de la Ec. \eqref{eq:perry_collapse}:

Definimos la tensión media \(\sigma = N/A\), \(\sigma_{cr} = N_{cr}/A\), y el factor de imperfección geométrica \(\beta = e_0 A / W_{el}\). Sustituyendo:

Paso 2: Ecuación Cuadrática

Multiplicamos por \(1 - \sigma / \sigma_{cr}\) para eliminar el denominador:

Reorganizamos todos los términos:

Llevando todo a un lado:

Esta es una ecuación cuadrática en \(\sigma\). La solución representa la tensión de colapso.

Paso 3: Normalización con \(\chi\)

Definimos \(\chi = \sigma / f_y\), de modo que \(\sigma = \chi f_y\). Además, \(\sigma_{cr} = f_y / \bar{\lambda}^2\) (de Ec. \eqref{eq:lambda_bar}). Sustituyendo en la ecuación cuadrática:

Dividiendo por \(f_y^2\):

Paso 4: Introducción de \(\alpha\)

El Eurocódigo reemplaza \(\beta\) con un coeficiente de imperfección \(\alpha (\bar{\lambda} - 0.2)\), ajustado experimentalmente. Definimos:

La ecuación cuadrática se reescribe, y su solución para \(\chi\) es:

Propiedades de \(\chi\):

• Para \(\bar{\lambda} \leq 0.2\), \(\chi = 1\), indicando fallo por fluencia sin pandeo.
• Para \(\bar{\lambda}\) grande, \(\chi \approx 1 / \bar{\lambda}^2\), acercándose al comportamiento de Euler.
• La transición suave entre fluencia y pandeo refleja efectos reales calibrados.

• Euler, L. (1744). Methodus inveniendi lineas curvas... Lausanae & Genevae.
  (Introdujo la carga crítica, Ec. \eqref{eq:euler_crit_load_pinned}).
• Timoshenko, S. P., & Gere, J. M. (1961). Theory of Elastic Stability. McGraw-Hill.
  (Referencia clásica sobre estabilidad estructural).
• Ayrton, W. E., & Perry, J. (1886). On Struts. The Engineer, 62.
  (Base del modelo de imperfecciones, Ec. \eqref{eq:perry_collapse}).
• CEN. (2005). EN 1993-1-1: Eurocódigo 3.
  (Define curvas de pandeo y \(\chi\), Ec. \eqref{eq:chi_formula}).
• Argüelles Álvarez, R., et al. (2013). Estructuras de acero: Cálculo según EC-3. Bellisco.
  (Guía práctica en español para el Eurocódigo 3).
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