Álgebra lineal con métodos elementales. Resolución de ejercicios tipo

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Diagonalización por semejanza (2).

El ejercicio típico de diagonalización por semejanza consiste en, dada una matriz cuadrada $A$, determinar si es o no diagonalizable y, en caso de que lo sea, determinar su forma diagonal y una matriz de paso, esto es: $D$ diagonal y $P$ regular de forma que $D=P^{-1}AP$.

Veamos los pasos a seguir para la matriz: $$ A=\left( \begin{array}{ccc} 5 & 1 & -3 \\ 1 & 5 & -3 \\ 2 & 2 & -2 \end{array}\right) $$

1. Determinación del polinomio característico.

Se trata de calcular un determinante en función de $\lambda$. En la medida de lo posible es conveniente calcular este determinante usando transformaciones elementales de forma que podamos sacar términos como factor común y el polinomio nos quede directamente factorizado: $$ p(\lambda)= det(A-\lambda ·I)= \left| \begin{array}{ccc} 5-\lambda & 1 & -3 \\ 1 & 5-\lambda & -3 \\ 2 & 2 & -2 -\lambda \end{array}\right| $$ Restando la segunda fila a la primera: $$ = \left| \begin{array}{ccc} 4-\lambda & -4+\lambda & 0 \\ 1 & 5-\lambda & -3 \\ 2 & 2 & -2 -\lambda \end{array}\right| = $$ Sumando la primera columna a la segunda: $$ = \left| \begin{array}{ccc} 4-\lambda & 0 & 0 \\ 1 & 6-\lambda & -3 \\ 2 & 4 & -2 -\lambda \end{array}\right| = $$ Desarrollando por la primera fila: $$ = (4-\lambda) \left| \begin{array}{cc} 6-\lambda & -3 \\ 4 & -2 -\lambda \end{array}\right| = (4-\lambda) [(6-\lambda)·(-2 -\lambda)+12] = (4-\lambda) [\lambda^2 - 4\lambda] = \lambda ·(4-\lambda)^2 $$

2. Raíces de $p(\lambda)$ y multiplicidades algebraicas.

En nuestro caso, obtenemos dos raíces una simple y una doble:

$\lambda_1 = 0$ $\alpha_1=1$
$\lambda_2 = 4$ $\alpha_2=2$

Si no tuviesemos el polinonio característico ya factorizado del paso anterior, hubiesemos obtenido
$p(\lambda)=\lambda ^3 - 8 \lambda ^2 + 16 \lambda$
y tendríamos que factorizarlo usando el método de Ruffini.

Si en este paso obtenemos alguna raíz no real, podríamos concluir que la matriz no es diagonalizable en el cuerpo $\mathbb{R}$ de los números reales, aunque podríamos seguir para ver si es diagonalizable en el de los complejos.

3. Multiplicidades geométricas.

$$d_i=dim(V_{\lambda_i})=n -rg(A-\lambda_i I)$$ Puesto que $\alpha_1=1$ y se sabe que $1\leq d_i \leq \alpha_i$, obtenemos directamente que $d_i=1$. $$ d_2= 3 -rg(A- 4 ·I) = 3 -rg \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & -3 \\ 2 & 2 & -6 \end{array}\right) = 3-1 = 2 $$

4. ¿Es diagonalizable?

Para ver si es diagonalizable tenemos que comprobar que todas las multiplicidades geométricas coinciden con las respectivas multiplicidades algebraicas:

$\lambda_1 = 0$ $\alpha_1=1$ $d_1=1$
$\lambda_2 = 4$ $\alpha_2=2$ $d_2=2$

la forma diagonal de $A$ es la matriz diagonal que tiene en su diagonal a los autovalores de $A$ repetidos de acuerdo a su multiplicidad.
En nuestro caso la matriz es diagonalizable y su forma diagonal es: $$ \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array}\right) $$

la forma diagonal es única salvo por el orden en que se situen los autovalores.

5. Bases de los subespacios propios.

Para obtener la matriz de paso, hemos de determinar la base para la que $A$ toma forma diagonal, es decir una base formada por vectores propios de $A$.
Ya sabemos que $dim(V_{\lambda_1})=d_1=1$, ahora hemos de calcular una base de $V_{\lambda_1}$: $$ V_{\lambda_1}=Ker(A-\lambda_1 · I) = Ker(A -0 · I)= Ker\left( \begin{array}{ccc} 5 & 1 & -3 \\ 1 & 5 & -3 \\ 2 & 2 & -2 \end{array}\right) $$ [Método 1]
Podemos calcular este núcleo por la definición de núcleo, obteniendo unas ecuaciones cartesianas de las que despúes se obtienen unas paramétricas y finalmente una base: $$ (x,y,z)\in Ker\left( \begin{array}{ccc} 5 & 1 & -3 \\ 1 & 5 & -3 \\ 2 & 2 & -2 \end{array}\right) \Longleftrightarrow \left(\begin{array}{ccc} 5 & 1 & -3 \\ 1 & 5 & -3 \\ 2 & 2 & -2 \end{array}\right) · \left(\begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{r} 5x+y-3z=0 \\ x+5y+3z=0 \\ 2x+2y-2z=0 \end{array}\right. $$ Reduciendo el sistema obtenemos el sistema escalonado reducido: $$ \left\{\begin{array}{r} x-\frac{1}{2}z=0 \\ y-\frac{1}{2}z=0 \\ \end{array}\right. $$ Que da las ecuaciones paramétricas: $$ \left\{\begin{array}{r} x= \delta \\ y=\delta \\ z= 2\delta \end{array}\right. $$ y por tanto la base $\{ (1,1,2)\}$.

[Método 2] (Recomendado)
Pero, puesto que lo que buscamos es una base de ese núcleo, es más cómodo obtenerla directamente calculando la forma de Hermite por columnas de $(\frac{A}{I})$ y tomando los vectores bajo las columnas de ceros: $$ \left( \begin{array}{rrr} 5 & 1 & -3 \\ 1 & 5 & -3 \\ 2 & 2 & -2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \sim_c \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0\\ 0 & 0 & 1 \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & 1 \\ -\frac{5}{12} & -\frac{1}{12} & 2 \\ \end{array}\right) $$ y obtenemos la base $\{ (1,1,2)\}$.

Para el segundo autovalor procedemos igual: $$ V_{\lambda_2}=Ker(A-\lambda_2 · I) = Ker(A - 4 · I)= Ker\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & -3 \\ 2 & 2 & -6 \end{array}\right) $$ $$ \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & -3 \\ 2 & 2 & -6 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \sim_c \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{array}\right) $$ Y un base es $\{(1,0,\frac{1}{3}), (0,1,\frac{1}{3})\}$.

6. Matriz de paso.

La matriz de paso es la matriz de cambio desde la nueva base, obtenida uniendo las bases de los distintos subespacios propios $\{(1,1,2),(1,0,\frac{1}{3}), (0,1,\frac{1}{3})\}$, a la canónica: $$ P=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{array}\right) $$

Los vectores propios han de colocarse en $P$ en mismo orden en que se hayan situado en $D$ los autovalores correspondientes.

La matriz de paso no es única puesto que pueden tomarse distintas bases de los subespacios propios, todas ellas válidas.

7. Comprobación.

Las matrices $D$ y $P$ obtenidas deben cumplir que $P$ sea regular y que $D=P^{-1}·A·P$.

Calculamos la inversa de $P$: $$ (P|I)=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \sim_f \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{3}{4}\\ 0 & 1 & 0 & \frac{5}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{3}{4} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{5}{4} & -\frac{3}{4} \end{array}\right) $$ luego, en efecto, $P$ es regular y su inversa es: $$ P^{-1}= \left( \begin{array}{ccc} -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{3}{4}\\ \frac{5}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{3}{4} \\ \frac{1}{4} & \frac{5}{4} & -\frac{3}{4} \end{array}\right) $$ Ahora comprobamos: $$ P^{-1}·A·P= \left( \begin{array}{ccc} -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{3}{4}\\ \frac{5}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{3}{4} \\ \frac{1}{4} & \frac{5}{4} & -\frac{3}{4} \end{array}\right) · \left( \begin{array}{ccc} 5 & 1 & -3 \\ 1 & 5 & -3 \\ 2 & 2 & -2 \end{array}\right) · \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{array}\right) = $$ $$ = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & -3 \\ 1 & 5 & -3 \end{array}\right) · \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{array}\right) = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array}\right) =D $$ [Método alternativo]

Es suficiente comprobar que $P$ es regular y que $PD=AP$. Esto es más cómodo ya que nos evitamos el cálculo de la inversa de $P$. $$ P= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{array}\right) \sim_c \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) $$ luego $P$ es regular, y: $$ PD= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{array}\right) · \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{3} \end{array}\right) $$ $$ A·P= \left( \begin{array}{ccc} 5 & 1 & -3 \\ 1 & 5 & -3 \\ 2 & 2 & -2 \end{array}\right) · \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{array}\right) = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{3} \end{array}\right) $$