Dada una aplicación lineal
$$f: V \longrightarrow V'$$
su núcleo e imagen son, respectivamente, los conjuntos:
$$
Ker(f)=\{x \in V \; | \; f(x)=0\}
$$
$$
Im(f)=\{ f(x) \; | \; x \in V\}
$$
$Ker(f)$ es un subespacio de $V$ y se verifica que $f$ es inyectiva si, y sólo si, $Ker(f)=0$
$Im(f)$ es un subespacio de $V'$ y se verifica que $f$ es sobreyectiva si, y sólo si, $Im(f)=V'$
La fórmula de las dimensiones para aplicaciones lineales relaciona las dimensiones de ambos subespacios:
$$
dim(Ker(f))+dim(Im(f))=dim(V).
$$
Si $f$ tiene matriz asociada $A$ de orden $m\times n$, entonces:
$$
dim(Im(f))= rg(A); \; \; \; dim(Ker(f))=n-rg(A)
$$
Cálculo de la Imagen
Partamos de una aplicación lineal $f: V \longrightarrow V'$ y de bases $B$ de $V$ y $B'$ de $V'$, y denotemos
$A=\mathfrak{M}_{B, B'}(f)$.
El cálculo de $Im(f)$ se basa en el siguiente resultado:
Dada una aplicación lineal $f:V \rightarrow V'$, si $\{u_1, \dots ,u_n\}$ es una base de $V$, entonces
$\{f(u_1),\dots ,f(u_n)\}$ es un sistema de generadores de $Im(f)$.
Recordemos que las columnas de $A$ son las coordenadas respecto de $B'$ de las imagenes de los vectores de $B$. Así pues,
las columnas de $A$ son las coordenadas respecto de $B'$ de un sistema de generadores de $Im(f)$, para obtener una base de $Im(f)$ bastará con tomar las columnas no nulas de la forma de Hermite por columnas de $A$, para obtener paramétricas o cartesianas de $Im(f)$ podemos usar el método usual.
Se considera la aplicación lineal $f:\mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3$ definida por $f(x,y,z)=(x+y,x+z, y-z)$, obtener unas ecuaciones cartesianas de $Im(f)$.
Es fácil ver que la matriz asociada a $f$ respecto de la base canónica es:
$$
A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & -1
\end{pmatrix}
$$
Calculamos la forma de Hermite por columnas de esta matriz:
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & -1
\end{pmatrix}
\sim_c
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1\\
-1 & 1 & -1
\end{pmatrix}
\sim_c
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0\\
1 & -1 & 0
\end{pmatrix}
$$
Así pues, una base de $Im(f)$ es $\{(1,0,1), (0,1,-1)\}$.
Pasamos a paramétricas:
$$
\left\{\begin{array}{ccc}
x & = & \lambda \\
y & = & \mu \\
z & = & \lambda - \mu
\end{array}\right.
$$
y eliminando parámetros obtenemos las cartesianas:
$$
\left\{\begin{array}{ccc}
x-y-z & = & 0
\end{array}\right.
$$
Cálculo del núcleo
La imagen por $f$ de un vector $x$ de coordenadas $x=(x_1, x_2, \cdots ,x_n)_B$ se obtiene multiplicando por la matriz asociada a $f$:
$$
Y=A · X
$$
los vectores del núcleo son aquellos cuya imagen vale $0$. Así pues, es fácil, a partir de la matriz asociada a $f$, obtener unas ecuaciones cartesianas (no necesariamente independientes) de $Ker(f)$:
$$
A · X = 0
$$
es decir, el sistema de ecuaciones homogéneo cuya matriz de coeficientes es $A$.
Se considera la aplicación lineal $f:\mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3$ definida por $f(x,y,z)=(x+y,x+z, y-z)$, obtener una base de $Ker(f)$.
Unas cartesianas de $Ker(f)$ son:
$$
A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & -1
\end{pmatrix}
·
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
$$
$$
\left\{ \begin{array}{ccc}
x+y & = & 0 \\
x+z& = & 0 \\
y-z& = & 0 \\
\end{array}\right.
$$
Reduciendo este sistema (forma de Hermite por filas de la matriz de coeficientes), obtenemos el sistema equivalente:
$$
\left\{ \begin{array}{ccc}
x+z& = & 0 \\
y-z& = & 0 \\
\end{array}\right.
$$
Cuya solución general (parámetricas de $Ker(f)$) es:
$$
\left\{ \begin{array}{ccc}
x& = & -\lambda \\
y& = & \lambda \\
z & = & \lambda
\end{array}\right.
$$
Y, por tanto, una base de $Ker(f)$ es $\{ (-1,1,1)\}$.
Comprobemos el resultado:
1. Por la fórmula de las dimensiones se obtiene que $dim(Ker(f))=1$.
2. $f(-1,1,1)= (0,0,0)$ luego, en efecto $(-1,1,1) \in Ker(f)$.
Un método alternativo (y a menudo más eficiente) para calcular a la vez bases de $Im(f)$ y de $Ker(f)$ se basa en lo siguiente:
Si al calcular la forma de Hermite por columnas de $A$ realizamos las
operaciones elementales sobre
$\left( \frac{A}{I} \right)$, obtendremos
$\left( \frac{C}{P} \right)$ donde $P$ es una
matriz regular de orden $n$ de forma que $C=AP$.
Como ya hemos dicho, las columnas no nulas de $C$ forman una base (en
coordenadas) de $Im(f)$, pues bien: las columnas de $P$ que están bajo
las columnas de ceros de $C$ (si las hay) forman una base de $Ker(f)$.
Se considera la aplicación lineal $f:\mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3$ definida por $f(x,y,z)=(x+y,x+z, y-z)$, obtener una base de $Ker(f)$.