Álgebra lineal con métodos elementales. Resolución de ejercicios tipo

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Matriz asociada a una aplicación lineal.

Una aplicación $f: V \longrightarrow V'$ entre dos $\mathbb{K}$-espacios vectoriales es lineal si se comporta bien con respecto a la estructura de espacio vectorial, es decir si $f(u+v)=f(u)+f(v)$ y $f(k u)= kf(u)$ para cualesquiera $u,v \in V$, $k \in \mathbb{K}$.

Una aplicación lineal está univocamente determinada por la imagen de los vectores de una base. Si por ejemplo $f:\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ y $f(1,0)= (1,2)$, $f(0,1)= (3,5)$, entonces para un vector cualquiera $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ tenemos: $$ f(x,y)= f(x·(1,0) + y · (0,1)) = x·f(1,0) + y · f(0,1) = x·(1,2) + y · (3,5) = (x+3y, 2x+5y) $$ Más en general, si $f(1,0)= (a,b)$, $f(0,1)= (c,d)$, entonces para un vector cualquiera $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ tenemos: $$ f(x,y)= f(x·(1,0) + y · (0,1)) = x·f(1,0) + y · f(0,1) = x·(a,b) + y · (c,d) = (ax+cy, bx+dy) $$ Es decir la imagen del vector $(x,y)$ (en columna) se obtiene como $$ \begin{pmatrix} a & c\\ b & d \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

Cómo se determina la matriz asociada

Dada una aplicación lineal $f: V \longrightarrow V'$ y dadas bases $B$ de $V$ y $B'$ de $V'$, la matriz asociada a $f$ respecto de estas bases es la matriz $A=\mathfrak{M}_{B, B'}(f)$ cuyas columnas son las coordenadas respecto de $B'$ de las imagenes de los vectores de $B$. Si $dim(V)=n$ y $dim(V')=m$, $A$ es una matriz de orden $m\times n$.

Cuando el espacio de partida y de llegada son el mismo se dice que $f$ es un endomorfismo y en tal caso es usual considerar la misma base en ambos casos y denotar $\mathfrak{M}_{B}(f)$

Para determinar $\mathfrak{M}_{B, B'}(f)$ hemos de:

  1. Tomar los vectores de $B$.
  2. Aplicarles $f$.
  3. Tomar coordenadas respecto de $B'$.
  4. Ponerlos por columnas en una matriz.

Se considera la aplicación lineal $D: \mathcal{P}_3(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathcal{P}_2(\mathbb{R})$ que a cada polinomio de $\mathcal{P}_3(\mathbb{R})$ le asigna su derivada: $D(p(x))=p'(x)$. Determinar la matriz asociada a $D$ respecto de la base estándar $B=\{ 1, x, x^2, x^3\}$.

Aplicamos $D$ a los vectores de la base estándar y tomamos coordenadas: $$ \begin{array}{lcccl} D(1)&= & 0 &= & (0,0,0,0)_B \\ D(x) &= & 1 &= & (1,0,0,0)_B \\ D(x^2)&= & 2x &= & (0,2,0,0)_B \\ D(x^3)&= & 3x^2& =&(0,0,3,0)_B \end{array} $$ Obtenemos la matriz asociada poniéndolos por columnas: $$ A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} $$

Cómo se usa la matriz asociada

La matriz asociada a una aplicación lineal $f$ respecto de las bases $B$ y $B'$ permite a partir de las coordenadas de un vector $x$ respecto de $B$ calcular las coordenadas de su imagen $y=f(x)$ respecto de $B'$:

Si denotamos $x=(x_1, x_2, \cdots, x_n)_B$, $y= f(x) = (y_1, y_2, \cdots , y_m)_{B'}$ entonces $$ \begin{pmatrix} y_1\\ y_2 \\ \vdots \\ y_m \end{pmatrix} = A · \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} $$ o usando la notación usual: $$ Y = A · X $$ Por ejemplo, en el ejercicio anterior hemos obtenido la matriz $$ A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} $$ Podemos usar esta matriz para calcular la imagen (derivada) de un polinomio: Dado $p(x)= 1 +2 x^2 + 5 x^3$ sus coordenadas respecto de la base estándar son $p(x)=(1,0,2,5)$ $$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 15 \\ 0 \end{pmatrix} $$ y por tanto $D(p(x))$ tiene coordenadas $(0,4,15,0)_B$, es decir, $D(p(x))= 4x+15x^2$ (como era de esperar).

De una aplicación lineal $f:\mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ se sabe que: $$ \begin{array}{l} f(1,0,0)=(1,0)\\ f(0,1,0)= (1,1) \\ f(0,0,1)=(0,-1) \end{array} $$ Determinar la matriz asociada a $f$ respecto de las respectivas bases canónicas de $\mathbb{R}^3$ y $\mathbb{R}^2$ y calcular $f(1,2,1)$.

La matriz asociada a $f$ respecto de las bases canónicas será: $$ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} $$ La imagen de $(1,2,1)$ se obtiene multiplicando por $A$: $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} $$ $$ f(1,2,1) = (3,1) $$.

En general, la imagen de un vector $(x,y,z)$ será $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y \\ y-z \end{pmatrix} $$

$$ f(x,y,z) = (x+y,y-z) $$.