Matriz de Gram de un producto escalar respecto de una base.
Matriz de Gram. Cómo se determina.
Dado un producto escalar en $V $ y una base $B=\{e_1, e_2, \dots , e_n\}$ de $V$,
la matriz de Gram respecto de la base $B=\{e_1, e_2, \dots , e_n\}$ consta de todos los productos $\langle e_i,e_j \rangle$, es decir,
$$G=(\langle e_i,e_j\rangle )_{i,j=1,\dots ,n}$$
En el espacio vectorial $\mathcal{P}_2(\mathbb{K})$ de los polinomios de grado menor o igual que $2$,
calcular la matriz de Gram del producto escalar definido por
$$ \langle p(x),q(x)\rangle = \int_{0}^{1} p(x)q(x)dx $$
respecto de la base estándar $B=\{1,x,x^2 \}$.
Observamos que en este ejemplo se ha usado que los polinomios representan funciones reales integrables para definir el producto escalar.
Se trata de calcular los productos de todas las parejas de polinomios en la base estándar, esto es:
$$
\begin{array}{ccc}
\langle 1,1\rangle & \langle 1,x\rangle & \langle 1,x^2\rangle \\
\langle x,1\rangle & \langle x,x\rangle & \langle x,x^2 \rangle \\
\langle x^2,1\rangle & \langle x^2,x\rangle & \langle x^2,x^2\rangle
\end{array}
$$
Por la propiedad del producto escalar que asegura que $\langle u,v\rangle =\langle v,u\rangle$, es decir, que la matriz de Gram es simétrica,
será suficiente calcular
los elementos que se encuentran en la diagonal y los que hay sobre ella.
Comenzamos calculando $\langle 1,1\rangle$, para ello tengamos en cuenta que $1$ representa al polinomio constante igual a uno, por tanto:
$$ \langle 1,1\rangle = \int_{0}^{1} 1\cdot 1dx = x ]_{0}^{1} = 1$$
Ahora continuamos con el resto, calculando las integrales definidas correspondientes:
$$ \langle 1,x\rangle = \int_{0}^{1} 1\cdot xdx = \frac{x^2}{2} ]_{0}^{1} = 1/2$$
$$ \langle 1,x^2\rangle = \int_{0}^{1} 1\cdot x^2 dx = \frac{x^3}{3}]_{0}^{1} = 1/3$$
$$ \langle x,x\rangle = \int_{0}^{1} x\cdot x dx = \frac{x^3}{3}]_{0}^{1} = 1/3$$
$$ \langle x,x^2\rangle = \int_{0}^{1} x\cdot x^2 dx = \frac{x^4}{4}]_{0}^{1} = 1/4$$
$$ \langle x^2,x^2\rangle = \int_{0}^{1} x^2\cdot x^2 dx = \frac{x^5}{5}]_{0}^{1} = 1/5$$
Y por último escribimos los resultados en una matriz (simétrica) que es la matriz de Gram:
$$G=\begin{pmatrix}
1 & 1/2 & 1/3 \\
1/2 & 1/3 & 1/4 \\
1/3 & 1/4 & 1/5\\
\end{pmatrix}
$$
Matriz de Gram. Cómo se usa.
Conocida la matriz de Gram respecto de una base, el producto escalar puede calcularse por la fórmula:
$$\langle x, y \rangle = X^t G Y$$
donde $X$ e $Y$ representan a las columnas de las coordenadas de los vectores $x$ e $y$ respecto de $B$.
Con el producto escalar anterior y los polinomios $p(x)= 1+6x-10x^2$ y $q(x)=1+2x+4x^2$, calcular
1. $\langle p(x), q(x) \rangle$,
2. $|| p(x)||$, $||q(x) ||$,
3. el ángulo que determinan $p(x)$ y $q(x)$
1. Puede calcularse usando la fórmula del producto escalar, es decir, calculando
$$ \langle p(x), q(x) \rangle = \int_{0}^{1} (1+6x-10x^2)(1+2x+4x^2)dx $$
o bien usando coordenadas respecto de la base estándar, $p(x)=(1,6,-10)_B; q(x)=(1,2,4)_B$ y la matriz de Gram respecto de esa misma base:
$$ \langle p(x), q(x) \rangle =
\begin{pmatrix}
1 & 6 & -10\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 1/2 & 1/3 \\
1/2 & 1/3 & 1/4 \\
1/3 & 1/4 & 1/5\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\
2\\
4
\end{pmatrix}= 0$$
2. La definición de módulo o norma de un vector es
$$|| v ||= + \sqrt{\langle v, v \rangle}$$
entonces,
$$||p(x)||^2= \langle p(x), p(x) \rangle = \begin{pmatrix}
1 & 6 & -10\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 1/2 & 1/3 \\
1/2 & 1/3 & 1/4 \\
1/3 & 1/4 & 1/5\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\
6\\
-10
\end{pmatrix}= 7/3$$
Así $||p(x)||= \sqrt{7/3}$.
$$||q(x)||^2= \langle q(x), q(x) \rangle = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 4\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 1/2 & 1/3 \\
1/2 & 1/3 & 1/4 \\
1/3 & 1/4 & 1/5\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\
2\\
4
\end{pmatrix}= 71/5$$
Por tanto $||q(x)||= \sqrt{71/5}$.
3. El ángulo entre dos vectores $u$ y $v$ es el que verifica que $cos \, \alpha = \frac{\langle u, v \rangle }{||u||\cdot ||v||}$ y
$0\leq \alpha \leq \pi$.
En este caso será
$$ cos\, \alpha = \frac{\langle p(x), q(x) \rangle }{||p(x)||\cdot ||q(x)||} = 0$$
Tenemos entonces que los vectores forman un ángulo de $90$ grados, por tanto son ortogonales.