Álgebra lineal con métodos elementales. Resolución de ejercicios tipo

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Suma directa de dos subespacios.

Dados dos subespacios $U$ y $W$ de un espacio vectorial $V$, se dice que su suma $U+W$ es directa y se denota por $U\oplus W$ si se verifica que $U\cap W=0$. En tal caso se tiene que: Puesto que la suma directa no es una nueva operación con subespacios, no nos pueden pedir que "calculemos la suma directa de $U$ y $W$" sino, en todo caso, que calculemos la suma y comprobemos si es directa.

Subespacios complementarios

Dos subespacios $U$ y $W$ de un espacio vectorial $V$ son complementarios (o suplementarios) en $V$ si se verifica que $V=U\oplus W$, es decir que $U+W$ es el subespacio total $V$ y que $U\cap W$ es el subespacio trivial $0$.

Todo subespacio tiene un complementario, de hecho infinitos. Para obtener un complementario $W$ de un subespacio $U$, lo más cómodo es partir de una base de $U$, añadir vectores de forma que se obtenga una base del subespacio total y tomar como $W$ el subespacio generado por estos vectores añadidos.

Dado el subespacio $U$ de $\mathbb{R}^4$ de ecuaciones cartesianas: $$ \left\{ \begin{array}{ccc} x+y & = & 0 \\ t & = & 0 \end{array} \right. $$ Obtener un subespacio complementario de $U$.

Una base de $U$ es $\{(-1,1,0,0), (0,0,1,0)\}$ (compruébese), necesitamos dos vectores que junto con estos dos formen una base de $\mathbb{R}^4$, es decir, que al pegarlos por columnas a la matriz: $$ \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$ nos proporcionen una matriz de rango $4$.

Podemos considerar, por ejemplo, los vectores $(0,1,0,0)$ y $(0,0,0,1)$, ya que la matriz: $$ \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ tiene evidentemente rango $4$.

Así pues, un complementario de $U$ es $W=L ( (0,1,0,0), (0,0,0,1))$. Por supuesto, la solución no es única puesto que podríamos haber elegido otros vectores cumpliendo la misma condición.

Descomposición de un vector

A menudo es útil determinar la descomposición única de un vector de una suma directa $U\oplus W$. La forma más fácil de hacerlo es partiendo de ecuaciones cartesianas de ambos subespacios.

Se consideran los subespacios de $\mathcal{P}_2(\mathbb{R})$: $U=L(1+x^2)$ y $W$ de cartesianas respecto de base estándar $\{ x_1 + x_3= 0$.
Comprobar que $\mathcal{P}_2(\mathbb{R})=U\oplus W$ y descomponer el vector $1+3x+3x^2$ como suma de un vector de $U$ y uno de $W$.

Es fácil ver que una base de $W$ es $\{ -1+x^2, x \}$, por tanto un sistema de generadores de $U+W$ es $\{ 1+x^2, -1+x^2, x\}$, pasamos de sistema de generadores a base usando coordenadas resecto de la base estándar: $$ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \sim_c \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ Por tanto una base de $U+W$ es $\{1, x, x^2\}$ y en consecuencia $U+W = \mathcal{P}_2(\mathbb{R})$.

Usando la fórmula de las dimensiones obtenemos que
$dim(U\cap W) = dim(U) + dim(W) -dim(U+W)= 1 +2 -3 =0$, luego $U\cap W = 0$ y por tanto $\mathcal{P}_2(\mathbb{R})=U\oplus W$

Unas cartesianas de $U$, respecto de la base estándar, son $\left\{\begin{array}{rcc} x_1 - x_3 & = & 0 \\ x_2 & = & 0 \end{array}\right.$

El vector dado $1+3x+3x^2$ tiene coordenadas $(1,3,3)_B$, su descomposición será de la forma: $$ (1,3,3)= (a,b,c) + (1-a, 3-b, 3-c) $$ con $(a,b,c)_B \in U$ y $(1-a, 3-b, 3-c)_B \in W$.

Imponiendo a $(a,b,c)$ las cartesianas de $U$ se obtiene: $$ \left\{\begin{array}{rcc} a - c & = & 0 \\ b & = & 0 \end{array}\right. $$ e imponiendo a $(1-a, 3-b, 3-c)$ las cartesianas de $W$: $$ \{ (1-a) + (3-c)= 0 \Longleftrightarrow \{ a+c= 4 $$ Basta ahora resolver el sistema (compatible determinado) $$ \left\{\begin{array}{rcc} a - c & = & 0 \\ b & = & 0 \\ a+c & = & 4 \end{array}\right. $$ cuya solución es $a=2;\; b=0;\; c=2$, es decir: $$ (1,3,3)= (2,0,2) + (-1, 3, 1) $$ con $(2,0,2)_B \in U$ y $(-1, 3, 1)_B \in W$.

O con vectores en lugar de coordenadas: $$ 1+3x+3x^2 = (2+2x^2) + (-1+3x+x^2) $$ con $2+2x^2 \in U$ y $-1+3x+x^2 \in W$.