Álgebra lineal con métodos elementales. Resolución de ejercicios tipo
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Todo subespacio tiene un complementario, de hecho infinitos. Para obtener un complementario $W$ de un subespacio $U$, lo más cómodo es partir de una base de $U$, añadir vectores de forma que se obtenga una base del subespacio total y tomar como $W$ el subespacio generado por estos vectores añadidos.
Podemos considerar, por ejemplo, los vectores $(0,1,0,0)$ y $(0,0,0,1)$, ya que la matriz: $$ \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ tiene evidentemente rango $4$.
Así pues, un complementario de $U$ es $W=L ( (0,1,0,0), (0,0,0,1))$. Por supuesto, la solución no es única puesto que podríamos haber elegido otros vectores cumpliendo la misma condición.
Usando la fórmula de las dimensiones obtenemos que
$dim(U\cap W) = dim(U) + dim(W) -dim(U+W)= 1 +2 -3 =0$, luego
$U\cap W = 0$ y por tanto $\mathcal{P}_2(\mathbb{R})=U\oplus W$
Unas cartesianas de $U$, respecto de la base estándar, son $\left\{\begin{array}{rcc} x_1 - x_3 & = & 0 \\ x_2 & = & 0 \end{array}\right.$
El vector dado $1+3x+3x^2$ tiene coordenadas $(1,3,3)_B$, su descomposición será de la forma: $$ (1,3,3)= (a,b,c) + (1-a, 3-b, 3-c) $$ con $(a,b,c)_B \in U$ y $(1-a, 3-b, 3-c)_B \in W$.
Imponiendo a $(a,b,c)$ las cartesianas de $U$ se obtiene: $$ \left\{\begin{array}{rcc} a - c & = & 0 \\ b & = & 0 \end{array}\right. $$ e imponiendo a $(1-a, 3-b, 3-c)$ las cartesianas de $W$: $$ \{ (1-a) + (3-c)= 0 \Longleftrightarrow \{ a+c= 4 $$ Basta ahora resolver el sistema (compatible determinado) $$ \left\{\begin{array}{rcc} a - c & = & 0 \\ b & = & 0 \\ a+c & = & 4 \end{array}\right. $$ cuya solución es $a=2;\; b=0;\; c=2$, es decir: $$ (1,3,3)= (2,0,2) + (-1, 3, 1) $$ con $(2,0,2)_B \in U$ y $(-1, 3, 1)_B \in W$.
O con vectores en lugar de coordenadas: $$ 1+3x+3x^2 = (2+2x^2) + (-1+3x+x^2) $$ con $2+2x^2 \in U$ y $-1+3x+x^2 \in W$.