Álgebra lineal con métodos elementales. Resolución de ejercicios tipo

Página Facebook: Álgebra lineal con métodos elementales.

Suma e intersección de subespacios.

Dados dos subespacios $U$ y $W$ de un espacio vectorial $V$, su suma $U+W$ es el menor subespacio de $V$ que los contiene a ambos, mientras que su intersección $U\cap W$ es el mayor subespacio de $V$ contenido en ambos. Alternativamente: $$ U+W=\{ u + w\; |\; u\in U, w\in W \} $$ $$ U\cap W=\{ v\in V \; |\; v \in U, v \in W\} $$ En particular: $$ \left. \begin{array}{c} U\cap W \subseteq U \\ U\cap W \subseteq W \end{array} \right\} \Longrightarrow dim (U\cap W) \leq min\{ dim(U), dim (W)\} $$ $$ \left. \begin{array}{c} U\subseteq U+W \\ W \subseteq U+ W \end{array} \right\} \Longrightarrow max\{ dim (U), dim (W)\} \leq dim (U+ W) $$ Además se verifica la fórmula de las dimensiones: $$ dim(U) + dim (W) = dim (U+W) + dim(U\cap W) $$ con lo cual cuanto más pequeña es la intersección más grande es la suma.

Así, por ejemplo, si $U$ y $W$ son subespacios de $\mathbb{R}^4$ y se tiene que $dim(U)=2$ y $dim(W)=3$, tenemos que
$dim(U\cap W)\leq 2$ y $dim(U+W)\geq 3$.
Además puesto que $U+W$ es también subespacio de $\mathbb{R}^4$ ha de ser $dim(U+W)\leq 4$. Así pues las únicas posibilidades son:

Cálculo de la suma

Reuniendo las bases de $U$ y $W$ se obtiene un sistema de generadores de $U+W$ (y posiblemente algunos vectores deban ser eliminados para obtener una base).

Por tanto para calcular la suma de dos subespacios hemos de obtener bases de ambos. Si en un ejercicio se pide calcular unas cartesianas de la suma de los subespacios $U$ y $W$ que vienen dados en sistema de generadores y cartesianas, respectivamente, el proceso a seguir será:

Cálculo de la intersección

Reuniendo las ecuaciones cartesianas de $U$ y $W$ se obtienen unas ecuaciones cartesianas de $U\cap W$ (y posiblemente algunas puedan ser eliminadas por transformaciones elementales).

Por tanto para calcular la intersección de dos subespacios hemos de obtener bases de ambos. Si en un ejercicio se pide calcular una base de la intersección de los subespacios $U$ y $W$ que vienen dados en base y cartesianas, respectivamente, el proceso a seguir será:

Determinar bases de la suma y la intersección de los subespacios de $\mathbb{R}^4$ dados por $U=\mathcal{L}((1,1,0,0), (0,0,1,1))$ y $W=\mathcal{L}((1,1,1,0), (1,1,1,1))$.

Claramente el sistema de generadores de $U$ es ya una base, sus paramétricas (respecto de la base canónica) serán: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x &=& \lambda \\ y &=& \lambda \\ z &=& \mu \\ t &=& \mu \\ \end{array} \right. $$ y eliminando parámetros obtenemos las cartesianas: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x - y&=& 0 \\ z - t &=& 0 \\ \end{array} \right. $$ Reduciendo por columnas el sistema de generadores de $W$ obtenemos la base $\{ (1,1,1,0), (0,0,0,1)\}$.

Unas paramétricas son: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x &=& \lambda \\ y &=& \lambda \\ z &=& \lambda \\ t &=& \mu \\ \end{array} \right. $$ y eliminando parámetros obtenemos las cartesianas: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x - z &=& 0 \\ y - z &=& 0 \\ \end{array} \right. $$ Uniendo las bases de ambos subespacios obtenemos un sistema de generadores de $U+W$:
$\{ (1,1,0,0), (0,0,1,1), (1,1,1,0), (0,0,0,1)\}$

Pasamos a base reduciendo por columnas: $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \sim_c \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} $$ luego una base es $\{ (1,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)\}$ y $dim(U+W)=3$.

De acuerdo a la fórmula de las dimensiones la dimensión de $U\cap W$ será: $$ dim (U\cap W) = dim(U) + dim (W) - dim (U+W) = 2 + 2 - 3 = 1 $$

Unas cartesianas de $U\cap W$ se obtienen uniendo las cartesianas de ambos subespacios y reduciendo el sistema: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x - y &=& 0 \\ z - t &=& 0 \\ x - z &=& 0 \\ y - z &=& 0 \\ \end{array} \right. $$ reducimos la matriz ampliada del sistema para obtener un sistema equivalente escalonado reducido: $$ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \sim_f \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} $$ $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x - t &=& 0 \\ y - t &=& 0 \\ z - t &=& 0 \\ \end{array} \right. $$ Pasamos a paramétricas: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x &=& \lambda \\ y &=& \lambda \\ z &=& \lambda \\ t &=& \lambda \end{array} \right. $$ y por tanto una base de $U\cap W$ es $\{(1,1,1,1)\}$.