Álgebra lineal con métodos elementales. Resolución de ejercicios tipo

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Expresiones de un subespacio

Las principales formas en que nos pueden venir dado un subespacio vectorial son: Sistema de generadores, base, ecuaciones paramétricas y ecuaciones cartesianas (o implícitas). Puesto que según el caso una de estas expresiones es más útil que las otras, es importante que sepamos a partir de una de estas expresiones calcular las otras. El esquema siguiente resume los diferentes pasos:

En todo lo que sigue se consideran coordenadas de los vectores respecto de una base fijada $B$ del espacio vectorial $V$ del que son subespacios.

Sistema de generadores y base

Si $U=L(\{u_1, \dots ,u_r\})$, es decir: $U$ tiene por sistema de generadores $\{u_1, \dots ,u_k \}$, entonces podríamos obtener una base de $U$ eliminando vectores que sean combinación lineal de los demás. Pero en la práctica hay un método más eficiente, que además proporciona una base lo más simple posible del subespacio:
Consideramos la matriz $A$ de orden $k\times n $ cuyas columnas son las coordenadas, respecto de $B$, de los vectores $u_1, \dots ,u_k$. Las columnas no nulas de la forma de Hermite por columnas de $A$ son las coordenadas de los vectores de una base de $U$.

Base y Ecuaciones paramétricas

Las coordenadas de los vectores de una base $\{u_1, \dots, u_r\}$ permiten obtener unas ecuaciones paramétricas del subespacio. Puesto que cada vector $x$ del subespacio ha de ser combinación lineal de los de la base, se expresará en la forma $x=\lambda_1 u_1 + \dots + \lambda_r u_r$. Pasando a coordenadas respecto de $B$ obtenemos unas parámetricas de $U$ respecto de $B$. Veamos un ejemplo:

En $\mathbb{R}^3$ se considera el subespacio $U$ con base $\{ (1, 2,1), (0, 1, 2)\}$, cada vector $x=(x_1,x_2,x_2)$ de $U$ será combinación de estos, así pues: $$ (x_1,x_,x_3)= \lambda (1,2,1) + \mu (0,1,2) = (\lambda, 2\lambda + \mu, \lambda + 2 \mu) $$ $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x &=& \lambda \\ y &=& 2\lambda + \mu \\ z &=& \lambda + 2 \mu \end{array} \right. $$ Pero podemos hacer el proceso de forma automática ya que las coordenadas del primer vector de la base dada son precisamente los coeficientes de $\lambda$ y las del segundo las de $\mu$. Este hecho sirve para poder obtener el cambio de ecuaciones paramétricas a base.
Dadas las paramétricas: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x &=& \lambda - \mu \\ y &=& 3\lambda + 2 \mu \\ z &=& \lambda - 2 \mu \\ t &=& -\lambda + 2 \mu \end{array} \right. $$ los coeficientes de $\lambda$ serán las coordenadas de un primer vector de la base del subespacio y los de $\mu$ las del segundo, así pues obtenemos que una base del subespacio está formada por los vectores cuyas coordenadas son $(1,3,1,-1)_B$ y $(-1,2,-2,2)_B$.

Ecuaciones cartesianas y paramétricas

Para pasar de ecuaciones cartesianas a parámetricas de un subespacio basta resolver el sistema de ecuaciones por el método de Gauss- Jordan.

Recíprocamente, para pasar de parámetricas a cartesianas, se trata de determinar un sistema de ecuaciones homogéneo del que la paramétricas dadas sean su solución. El método más cómodo es el de eliminación de parámetros.
Partamos, por ejemplo, de las paramétricas: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x &=& \lambda + \mu \\ y &=& \lambda + 2 \mu \\ z &=& \lambda - \mu \\ t &=& \mu \end{array} \right. $$ partimos de 4 ecuaciones y 2 parámetros, en cada paso tendremos una ecuación menos y un parámetro menos, para ello usamos una de las ecuaciones en que aparece el parámetro $\lambda$, por ejemplo la primera, la usamos para eliminar $\lambda$ de las restantes y esa ecuación ya no la ponemos: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} y-x &=& \mu \\ z-x &=& -2 \mu \\ t &=& \mu \end{array} \right. $$ Ahora tomamos la cuarta ecuación y la usamos para eliminar $\mu$ de las otras dos: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} y-x-t &=& 0 \\ z-x +2t &=& 0 \end{array} \right. $$ Reordenando obtenemos: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x - y + t &=& 0 \\ x - z -2t &=& 0 \end{array} \right. $$

En el espacio vectorial $\mathcal{P}_3(\mathbb{K})$ de los polinomios de grado menor o igual que $3$, se considera el subespacio $U$ generado por $2x^3+2x+1, 2x^3+x^2+3x+1, x^3+x^2+2x, 2x^2+2x+1$. Determinar una base de $U$, unas ecuaciones paramétricas y unas cartesianas.

Consideramos la base estándar $B=\{1,x,x^2,x^3\}$ de $\mathcal{P}_3(\mathbb{K})$, entonces: $$ \begin{array}{rcl} 2x^3+2x+1 & = & (1,2,0,2)_B \\ 2x^3+x^2+3x+1 & = & (1,3,1,2)_B \\ x^3+x^2+2x & = & (0,2,1,1)_B \\ 2x^2+2x+1 & = & (1,2,2,0)_B \\ \end{array} $$ La matriz cuyas columnas son estas coordenadas es: $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$ Calculamos su forma de Hermite por columnas: $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \sim_c \begin{pmatrix} 1 & 0&0 &0 \\ 2 &1 &2 & 0\\ 0 &1 &1 & 2\\ 2 &0 &1 & -2 \end{pmatrix} \sim_c \begin{pmatrix} 1 & 0& 0& 0\\ 2 & 1& 0& 0\\ 0 &1 &-1 &2 \\ 2 &0 &1 &-2 \end{pmatrix} \sim_c \begin{pmatrix} 1 &0 &0 & 0\\ 2 & 1& 0& 0\\ 0 & 1& 1& 0\\ 2 & 0& -1& 0 \end{pmatrix} \sim_c $$ $$ \sim_c \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 \\ 0 &1 &0 &0 \\ -2 & 1& 1&0 \\ 2 & 0& -1&0 \end{pmatrix} \sim_c \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} $$ Una base de $U$ está formada por los vectores cuyas coordenadas respecto de $B$ son las columnas no nulas de esta matriz, esto es: $$ \begin{array}{lcl} (1,0,0,0)_B & = & 1 \\ (0,1,0,1)_B & = & x+x^3\\ (0,0,1,-1)_B & = &x^2-x^3\\ \end{array} $$ Unas ecuaciones parámetricas de $U$ vendrán dadas por: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x_1 &=& \lambda \\ x_2 &=& \mu \\ x_3 &=& \gamma \\ x_4 &=& \mu - \gamma \end{array} \right. $$ Eliminamos parámetros: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x_2 &=& \mu \\ x_3 &=& \gamma \\ x_4 &=& \mu - \gamma \end{array} \right. \;\rightarrow\; \left\{ \begin{array}{rcl} x_3 &=& \gamma \\ x_4 -x_2 &=& - \gamma \end{array} \right. \;\rightarrow\; \left\{ \begin{array}{rcl} x_3 + x_4 -x_2&=& 0 \\ \end{array} \right. \;\rightarrow\; \left\{ \begin{array}{rcl} x_2 -x_3 - x_4&=& 0 \\ \end{array} \right. $$ NOTA: Observemos que puesto que hemos partido de la base más sencilla posible del subespacio (la obtenida con la forma de Hermite por columnas) en las paramétricas los parámetros aparecen ya "despejados" y el paso a cartesianas se simplifica.

En $\mathfrak{M}_2(\mathbb{R})$ se considera el subespacio $U$ que tiene ecuaciones cartesianas respecto de la base estándar $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x+y+t&=& 0 \\ 2x-y+t&=& 0 \\ \end{array} \right. $$ Determinar una base de $U$.

Para pasar a paramétricas, resolvemos el sistema por el método de Gauss-Jordan, empezamos por reducir el sistema haciendo la forma de Hermite por filas de su matriz ampliada: $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \sim_f \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2/3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1/3 & 0 \end{pmatrix} $$ El sistema es equivalente a: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x+\frac{2}{3} t&=& 0 \\ y+\frac{1}{3}t&=& 0 \\ \end{array} \right. $$ Las incógnitas principales son $x$ e $y$ y las secundarias $z$ y $t$, asignamos parámetros a las secundarias y despejamos las principales: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x &=& -\frac{2}{3} \mu \\ y &=& -\frac{1}{3} \mu \\ z &=& \lambda \\ t &=& \mu \end{array} \right. $$ Una base de $U$ estará formada por los vectores de coordenadas $(-\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, 0, 1)_B$ y $(0,0,1,0)$, es decir: $$ \begin{pmatrix} -\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} , \; \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$