Álgebra lineal con métodos elementales. Resolución de ejercicios tipo

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Cambio de base

Las ecuaciones de cambio de base nos permiten obtener las coordenadas de un vector respecto de una base supuesto que las conocemos respecto de otra.

Cómo se determina la matriz del cambio de base

La matriz del cambio de base de $B'$ a $B$ es la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores de $B'$ respecto de $B$ Por ejemplo, si tenemos las bases de $\mathbb{R}^3$: $B=\{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}$ (la canónica) y $B'=\{(1,0,1), (0,2,0) , (0,0,3)\}$, la matriz $P$ del cambio de base de $B'$ a $B$ se obtiene poniendo por columnas las coordenadas de los vectores de $B'$ respecto de $B$ (puesto que $B$ es la canónica estas coordenadas son fáciles de calcular): $$ P=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} $$

Cómo se usa la matriz del cambio de base

La ecuación del cambio de base de $B'$ a $B$ es $$ X=PX' $$ siendo $P$ la matriz del cambio de base de $B'$ a $B$. La ecuación matricial de nuestro ejemplo (de $B'$ a $B$) será: $$ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \\ x'_3 \end{pmatrix} ; \; X=PX' $$ se nota que el cambio es de $B'$ a $B$ en que introduciendo X' (coordenadas respecto de $B'$) se obtiene $X$ (las coordenadas respecto de B) al multiplicar por P.

Así si tenemos el vector $x$ de $\mathbb{R}^3$ que tiene coordenadas respecto de $B'$: $x=(2,1,2)_{B'}$, obtenemos: $$ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix} $$ es decir $x=(2,2,8)_B$.

Cambio inverso

Si tenemos el cambio de $B'$ a $B$ y necesitamos el cambio inverso de $B$ a $B'$, podemos razonar de la siguiente forma: $$X=PX' \Longrightarrow X'= P^{-1} X$$ Es decir, si la matriz del cambio $B' \longrightarrow B$ es $P$, entonces la matriz del cambio $B \longrightarrow B'$ es $P^{-1}$.

Si queremos calcular las coordenadas respecto de $B'$ del vector $x=(5,4,2)_B$, calculamos $P^{-1}$: $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &1 & 0 &0\\ 0 & 2 & 0 & 0 &1 & 0\\ 1 & 0 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \sim_f \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 &0\\ 0 & 1 & 0 & 0 &\frac{1}{2} & 0\\ 0 & 0 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \sim_f \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 &0\\ 0 & 1 & 0 & 0 &\frac{1}{2} & 0\\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix} $$

La ecuación del cambio $B \longrightarrow B'$ queda: $$ \begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \\ x'_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 &\frac{1}{2} & 0\\ -\frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} $$ y las coordenadas respecto de $B'$ de nuestro vector $x=(5,4,2)_B$: $$ \begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \\ x'_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 &\frac{1}{2} & 0\\ -\frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} $$

En el espacio vectorial $\mathcal{P}_3(\mathbb{R})$ de los polinomios de grado menor o igual que $3$, se consideran las bases estándar $B=\{1,x,x^2, x^3 \}$ y $B'=\{x^3+x^2+x+1, x^3+x^2+x, x^3+x^2, x^3\}$. Determinar la ecuación del cambio de base de $B$ a $B'$ y las coordenadas respecto de $B'$ del vector $p(x)=x^3+2x$.

El cambio fácil de calcular es el de $B'$ a $B$: $$ \begin{array}{lcl} x^3+x^2+x+1 &= & (1,1,1,1)_B \\ x^3+x^2+x &= & (0,1,1,1)_B \\ x^3+x^2 &= & (0,0,1,1)_B \\ x^3 &= & (0,0,0,1)_B \\ \end{array} $$ Así pues la matriz del cambio $B' \longrightarrow B$ (la matiz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores de $B'$ respecto de $B$) es $$ P= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} $$ y el cambio $B' \longrightarrow B$ tiene ecuaciones $X=PX'$. Ahora, el cambio que nos piden es el inverso $B \longrightarrow B'$ que tiene ecuaciones $X'=P^{-1}X$. Calculamos $P^{-1}$: $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} \sim_f \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1\\ \end{pmatrix} \sim_f $$ $$ \sim_f \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1\\ \end{pmatrix} \sim_f \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1\\ \end{pmatrix} $$ $$ P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ -1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 1\\ \end{pmatrix} $$ Y finalmente, la ecuación del cambio $B \longrightarrow B'$ es $$ \begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \\ x'_3 \\ x'_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ -1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} $$ El vector $p(x)=x^3+2x$ tiene coordenadas respecto de $B$: $p(x)=(0,2,0,1)$, usando el cambio $B \longrightarrow B'$ obtenemos: $$ \begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \\ x'_3 \\ x'_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ -1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} $$ $p(x)=(0,2,-2,1)_{B'}$.

Composición de cambios

Cuando nos piden un cambio entre dos bases en que ninguna de ellas es la canónica o estándar, a menudo lo más cómodo es componer cambios:

Si tenemos las ecuaciones de los cambios de $B'$ a $B$ y de $B''$ a $B$, podemos obtener el cambio de $B'$ a $B''$: $$ \left.\begin{array}{rcl} X & = &PX'\\ X & = &QX'' \end{array}\right\} \Longrightarrow PX'=QX'' \Longrightarrow X'' = (Q^{-1} P) X' $$

En el espacio vectorial $\mathbb{R}^3$ se consideran las bases: $B'=\{ (1,1,0), (0,1,2), (1,0,1) \}$ y $B''=\{(1,0,0), (2,1,0), (1,1,1)\}$. Determinar la ecuación del cambio de base de $B'$ a $B''$.

Denotemos por $B$ la base canónica de $\mathbb{R}^3$. Entonces la ecuación del cambio $B' \longrightarrow B$ es: \begin{equation}\label{eq1} %\resizebox{!}{4mm}{ X=PX';\;\;\; P= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{equation} y la de $B'' \longrightarrow B$: \begin{equation}\label{eq2} X=QX'' ;\; Q= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}. \end{equation} Combinando ambas ecuaciones, obtenemos: $$ X'' = Q^{-1} X = Q^{-1} (P X')=(Q^{-1} P) X' $$ Es decir: la matriz del cambio de base $B' \longrightarrow B''$ es $Q^{-1}P$. Calculamos: $$ (Q|I)= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} \sim_f \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} \sim_f $$ $$ \sim_f \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} $$ $$ Q^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} $$ $$ Q^{-1}P= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2\\ 1 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix} $$ Y finalmente la ecuación del cambio $B' \longrightarrow B''$ queda: $$ \begin{pmatrix} x''_1 \\ x''_2 \\ x''_3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2\\ 1 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \\ x'_3 \\ \end{pmatrix} $$