Álgebra lineal con métodos elementales. Resolución de ejercicios tipo

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Sistemas de ecuaciones dependientes de parámetros

A menudo interesa discutir y resolver sistemas de ecuaciones en que alguno de los coeficientes no está determinado, sino que viene expresado en función de uno o varios parámetros. Un ejemplo sería: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} 2x-ay+bz&= & 4 \\ x+z&= & 2 \\ x+y+z&= & 2 \\ \end{array} \right. $$ En este tipo de ejercicio hemos de clasificar los distintos casos que se presentan y describir la situación en cada uno de ellos. En general este tipo de ejercicios es más recomendable resolverlos usando determinantes (lo veremos más adelante). No obstante, en algunos casos también es fácil resolverlos usando transformaciones elementales. El cálculo de la forma de Hermite de una matriz dependiendo de parámetros presenta dos problemas:

1. La posible complejidad de las expresiones que acaben apareciendo y la incomodidad de trabajar con ellas.

2. Hay que tener mucho cuidado de no hacer divisiones por cero. Las transformaciones de tipos I y III se pueden hacer sin problemas, igual que si no hubiese parámetros, sin embargo hay que tener precaución con las de tipo II. La forma de actuar es la siguiente: cuando necesitemos dividir una fila por una expresión en que aparece un parámetro, hemos de distinguir dos casos:

(a) Caso en que esa expresión vale cero, en este caso basta poner cero en lugar de la expresión.

(b) Caso en que esa expresión es distinta de cero, en este caso podemos dividir por la expresión.

Consideremos como ejemplo la matriz ampliada del sistema de antes: $$ \left(\begin{array}{rrr|r} 2 & -a & b & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & -a & b & 4 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -a & b & 4 \\ \end{array}\right) \sim_f $$ $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -a & b-2 & 0 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b-2 & 0 \\ \end{array}\right) $$ En este momento hemos de distinguir casos:

(a) Si $b= 2$ ($b-2 = 0$), la matriz anterior queda como: $$ \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) $$ que ya es escalonada reducida por filas.

(b) Si $b\neq 2$ ($b-2 \neq 0$), podemos hacer la transformación de tipo II consistente en dividir por $b-2$ y obtenemos: $$ \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array}\right) $$

Volviendo al sistema de ecuaciones, los casos son:

(a) Si $b= 2$, el sistema es equivalente a: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x+z&= & 2 \\ y&= & 0 \\ \end{array} \right. $$ compatible indeterminado con solución general: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x&= & 2 -\lambda \\ y&= & 0 \\ z & = & \lambda \\ \end{array} \right. $$ (b) Si $b\neq 2$, el sistema es equivalente a: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x&= & 2 \\ y&= & 0 \\ z & = & 0 \\ \end{array} \right. $$ compatible determinado con solución única $x=2, y=0, z=0$.

Discutir y resolver en función del parámetro $a$ el sistema de ecuaciones lineales: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x+ay+az&= & 1 \\ x+2ay+(a+1)z&= & 1 \\ 2x+ay+az & = & 2 \\ \end{array} \right. $$

Reducimos la matriz ampliada del sistema: $$ \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & a & a & 1 \\ 1 & 2a & a+1 & 1 \\ 2 & a & a & 2 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & a & a & 1 \\ 0 & a & 1 & 0 \\ 2 & a & a & 2 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & a & a & 1 \\ 0 & a & 1 & 0 \\ 0 & -a & -a & 0 \\ \end{array}\right) \sim_f $$ $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & a & a & 1 \\ 0 & a & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1-a & 0 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & a-1 & 1 \\ 0 & a & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1-a & 0 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & a & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1-a & 0 \\ \end{array}\right) $$ Distinguimos casos:

(a) Si $a=0$: $$ \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) $$ y el sistema es equivalente a: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x&= & 1 \\ z&= & 0 \\ \end{array} \right. \ $$ compatible indeterminado con solución general: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x & = & 1 \\ y & = & \lambda \\ z & = & 0 \\ \end{array} \right. \ $$

(b) Si $a=1$: $$ \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) $$ y el sistema es equivalente a: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x&= & 1 \\ y+z&= & 0 \\ \end{array} \right. \ $$ compatible indeterminado con solución general: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x & = & 1 \\ y & = & -\lambda \\ z & = & \lambda \\ \end{array} \right. \ $$ (c) Si $a\neq 0,1$: $$ \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & a & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1-a & 0 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & a & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array}\right) $$ y el sistema es equivalente a: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x&= & 1 \\ y&= & 0 \\ z&= & 0 \\ \end{array} \right. \ $$ compatible determinado con solución única $x=1,y=0,z=0$.

Cuando discutimos un sistema de ecuaciones lineales usando determinantes el Teorema de Rouché-Frobenius nos proporciona un método muy sencillo basado en el cálculo del rango.

Teorema de Rouché-Frobenius

Dado un sistema de ecuaciones con matriz de coeficientes $A$ y matriz ampliada $A|B$,

Si $r ang(A)< rang(A|B)$ el sistema es INCOMPATIBLE.

Si $rang(A)=rang(A|B)$, el sistema es COMPATIBLE, y

Discutir, en función de los valores del parámetro $a$, el sistema $$ \left\{ \begin{array}{rrrl} x&+y& +z&=a\\ x&+ay& + a^2z&=a\\ x&+a^2y& +az&=a\\ x&+y& +az&=0\\ \end{array} \right. $$

Se trata de decidir para qué valores de $a$ el sistema es INCOMPATIBLE, COMPATIBLE DETERMINADO o COMPATIBLE INDETERMINADO.

Escribimos la matriz ampliada: $$ \left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1& a\\ 1 & a & a^2 & a\\ 1 & a^2 & a & a\\ 1 & 1 & a & 0 \end{array} \right) $$

Es importante observar los datos del sistema, que nos permitirán elegir el camino más rápido para decidir un porcentaje de casos mayor. En este ejemplo la matriz de coeficientes tiene orden 4x3, con lo que el mayor rango que puede alcanzar es 3. Sin embargo, la matriz ampliada es 4x4, así­ que podrá tener rango 4. Si $rang(A|B)=4$, es decir, si $det(A|B)\not = 0$, entonces ocurrirá que $rang(A) < rang(A|B)$ y el sistema será INCOMPATIBLE.

El cálculo del determinante de $A|B$ nos permite entonces resolver algunos casos, veamos cómo:

Procedemos a calcular el determinante haciendo uso de operaciones elementales, en este caso restando a cada fila la primera: $$ \left| \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1& a\\ 1 & a & a^2 & a\\ 1 & a^2 & a & a\\ 1 & 1 & a & 0 \end{array} \right|= \left| \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1& a\\ 0 & a-1 & a^2 -1 & 0\\ 0 & a^2 -1 & a-1 & 0\\ 0 & 0 & a-1 & -a \end{array} \right| $$

Desarrollamos el determinante por la primera columna: $$ =\left| \begin{array}{rrr} a-1 & a^2 -1 & 0\\ a^2 -1 & a-1 & 0\\ 0 & a-1 & -a \end{array} \right| $$ y ahora por la tercera columna: $$ =(-a)\left| \begin{array}{rr} a-1 & a^2 -1 \\ a^2 -1 & a-1 \\ \end{array} \right|=(-a)[(a-1)^2 -(a^2 -1)^2] $$ como $a^2-1=(a-1)(a+1)$ sustituimos, sacamos factor común $(a-1)^2$ y queda: $$ det(A|B)=(-a)(a-1)^2 [1-(a+1)^2]=(-a)(a-1)^2 [1-a^2 -2a -1]=a^2 (a-1)^2 (a+2) $$ Así­ que obtenemos que el determinante es distinto de cero para todos los valores de $a$ excepto para $a=0, a=1$ o $a=-2$.

Podemos afirmar entonces que cuando $a$ no es ni 0, ni 1, ni 2, entonces el sistema es INCOMPATIBLE. Lo más interesante es que sólo nos queda por estudiar qué ocurre para tres valores concretos de $a$, lo que puede hacerse sin dificultad sin más que sustituir $a$ por cada uno de esos valores.

  • Caso $a=0$.

    La matriz ampliada es $$ \left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1& 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) $$ y su forma escalonada reducida por filas $$ \left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1& 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right) $$ Es claro que el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO y su única solución es $x=0, y=0, z=0$.

  • Caso $a=1$.

    La matriz ampliada es $$ \left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1& 1\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right) $$ y su forma de Hermite por filas $$ \left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right) $$ Por tanto el sistema es INCOMPATIBLE.

  • Caso $a=-2$.

    Como antes, escribimos la matriz ampliada y calculamos su forma escalonada reducida: $$ \left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1& 2\\ 1 & 2 & 4 & 2\\ 1 & 4 & 2 & 2\\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array} \right) \sim_f \left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & -2/3\\ 0 & 1 & 0 & -2/3\\ 0 & 0 & 1 & -2/3\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$ y tenemos que el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO con solución $x=-\frac{2}{3}, y=-\frac{2}{3}, z=-\frac{2}{3}$.

  • En el resto de casos el sistema es INCOMPATIBLE.