Álgebra lineal con métodos elementales. Resolución de ejercicios tipo

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Matriz Inversa

Como sabemos, para una matriz cuadrada $A$ se dice que $B$ es inversa de $A$ si $AB=BA=I$. Una matriz cuadrada $A$ puede no tener inversa, pero si la tiene es única y se denota por $A^{-1}$. Las matrices que tienen inversa se llaman regulares o invertibles.

Es conocido que $A$ es regular si, y sólo si, su forma de Hermite por filas es la matriz identidad.

Si $A$ es regular y hacemos el cálculo de su forma de Hermite por filas y matriz de paso obtendremos como siempre: $$ (A|I) \sim_f (H|Q) ;\;\; H=Q\cdot A $$ pero en este caso, por ser $A$ regular se tiene que $H=I$, luego tenemos: $Q\cdot A = I$ y entonces $Q=A^{-1}$, es decir:

$$ (A|I) \sim_f (I|A^{-1}) $$

Estudiar si la matriz $$ \left(\begin{array}{rrrr} 3 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right) $$ es regular y en tal caso, calcular su matriz inversa.

La matriz será regular sí, y sólo si, su forma de Hermite por filas es la identidad. Si calculamos directamente la forma de Hermite de $(A|I)$ y obtenemos $(H|Q)$, se pueden dar dos casos:
Si $H\neq I$, entonces concluimos que $A$ no tiene inversa.
SI $H=I$, entonces $A$ es invertible y $Q=A^{-1}$

Calculamos pues la forma de Hermite por filas de $A$ y matriz de paso. Esta vez, vamos a ser un poco más atrevidos y apartarnos del algoritmo general para intentar hacerlo más rápida y cómodamente. Empezamos restando a la primera fila la segunda: $$ A= \left(\begin{array}{rrrr|rrrr} 3 & 2 & 3 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 3 & 2 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrrr|rrrr} 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0\\ 3 & 2 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right) \sim_f $$ Ahora, restamos la tercera a la segunda: $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrrr|rrrr} 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & -1 & 0\\ 2 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right) $$ Ahora intercambiamos la primera y la segunda fila: $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right) \sim_f $$ Restamos a la tercera dos veces la primera: $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 2 & -3 & 0 & -2 & 3 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right) \sim_f $$ intercambiamos segunda y cuarta: $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 2 & -3 & 0 & -2 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0\\ \end{array}\right) \sim_f $$ sumamos la segunda fila a la tercera: $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 3 & -3 & 0 & -2 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0\\ \end{array}\right) \sim_f $$ intercambiamos tercera y cuarta: $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3 & -3 & 0 & -2 & 3 & 1\\ \end{array}\right) \sim_f $$ restamos a la cuarta tres veces la tercera: $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -6 & -3 & 1 & 3 & 1\\ \end{array}\right) \sim_f $$ restamos la tercera fila a la segunda: $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -6 & -3 & 1 & 3 & 1\\ \end{array}\right) \sim_f $$ Dividimos la cuarta fila por $-6$: $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{6} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{6}\\ \end{array}\right) \sim_f $$ Restamos la segunda fila a la primera: $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 0 & 0 & 3 & 1 & 0 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{6} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{6}\\ \end{array}\right) \sim_f $$ y pivotamos hacia arriba con el pivote de la cuarta fila: $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{2}& \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{6} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{6}\\ \end{array}\right) \sim_f $$ $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{5}{6} & -\frac{1}{2} &\frac{5}{6}\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{6} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{6}\\ \end{array}\right) \sim_f $$ $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{5}{6} & -\frac{1}{2} &\frac{5}{6}\\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & -\frac{5}{6} & \frac{1}{2} & \frac{1}{6}\\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{6} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{6}\\ \end{array}\right) $$ Así pues, la forma de hermite de $A$ es la identidad y en consecuencia $A$ es regular y su inversa es la matriz de paso obtenida: $$ A^{-1}= \left(\begin{array}{rrrr} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2} & \frac{5}{6} & -\frac{1}{2} &\frac{5}{6}\\ \frac{1}{2} & -\frac{5}{6} & \frac{1}{2} & \frac{1}{6}\\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{6} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{6}\\ \end{array}\right) $$

Estudiar si la matriz $$ \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right) $$ es regular y en tal caso, calcular su matriz inversa.

Calculamos la forma de Hermite por filas de $A$ y matriz de paso, como antes. Puesto que ya tenemos un pivote $1$ en la primera fila, pivotamos para hacer ceros debajo de él, restamos la primera fila a la tercera y luego a la cuarta: $$ A= \left(\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 2 & 3 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 2 & 3 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -2 & -1 & -4 & -1 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right) \sim_f $$ $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 2 & 3 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -2 & -1 & -4 & -1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & -2 & -3 & -1 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right) $$ Ahora tenemos pivote $1$ en la segunda fila y hacemos ceros con él: $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 2 & 3 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 2 & -1 & 2 & 1 & 0\\ 0 & -1 & -2 & -3 & -1 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 2 & 3 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 2 & -1 & 2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 1\\ \end{array}\right) $$ A la vista de esto, la forma de Hermite por filas de $A$ tiene al menos una fila de ceros y no puede ser la identidad. Por tanto ya no hace falta seguir, sabemos que $A$ no tiene inversa.