Álgebra lineal con métodos elementales. Resolución de ejercicios tipo

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Forma escalonada reducida y matriz de paso

A menudo, es importante no sólo calcular la forma escalonada reducida de una matriz sino también determinar de alguna forma el camino que lleva de una a otra.

Dada una matriz $A$, si $H$ es su forma de Hermite por filas entonces existe una matriz regular $Q$ de forma que $H=QA$. De hecho, una tal $Q$ puede obtenerse haciéndole a la matriz identidad $I$ las mismas transformaciones con las que $H$ se obtiene de $A$.

Así pues, la forma más cómoda de calcular $H$ y $Q$ simultáneamente es considerar la matriz $(A|I)$ que se obtiene de $A$ adjuntándole la matriz identidad y hacer transformaciones hasta que obtengamos $H$ en el lado izquierdo en que estaba $A$ y entonces tendremos $Q$ en el lado derecho en que estaba $I$.

$$ (A|I) \sim_f (H|Q) $$ $$ H=Q\cdot A $$

Evidentemente, la matriz obtenida $Q$ no es única sino que depende del camino seguido.

Calcular la forma de Hermite por filas $H$ de la matriz $$ A= \left(\begin{array}{rrrr} -2 & -4 & 2 & 2 \\ 3 & 6 & -3 & -3 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \end{array}\right) $$ así como una matriz regular $Q$ de forma que $H=Q\cdot A$.

Consideremos la matriz $(A|I)$ que se obtiene pegando a $A$ la matriz identidad de orden $3$: $$ (A|I)= \left(\begin{array}{rrrr|rrr} -2 & -4 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0\\ 3 & 6 & -3 & -3 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) $$ Hemos de reducir esta matriz hasta que en su parte izquierda esté la forma de Hermite de $A$, para ello cual seguiremos los mismos pasos que en el ejercicio 1: $$ (A|I)= \left(\begin{array}{rrrr|rrr} -2 & -4 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0\\ 3 & 6 & -3 & -3 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrrr|rrr} 1 & 2 & -1 & -1 & 1 & 1 & 0\\ 3 & 6 & -3 & -3 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \sim_f $$ $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrrr|rrr} 1 & 2 & -1 & -1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & -2 & 0\\ 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrrr|rrr} 1 & 2 & -1 & -1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 2 & -1 & -1 & 1 \end{array}\right) \sim_f $$ $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrrr|rrr} 1 & 2 & -1 & -1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 2 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & -2 & 0 \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrrr|rrr} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 2 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & -2 & 0 \end{array}\right) = (H|Q) $$ Así pues, obtenemos: $$ H= \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right); \; Q= \left(\begin{array}{rrr} 0 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ -3 & -2 & 0 \end{array}\right) $$ Finalmente, comprobamos que realmente se verifica que $Q\cdot A=H$: $$ Q \cdot A = \left(\begin{array}{rrr} 0 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ -3 & -2 & 0 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrrr} -2 & -4 & 2 & 2 \\ 3 & 6 & -3 & -3 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) = H $$ NOTA: Como ya hemos dicho, no es difícil cometer algún error, en cuyo caso la comprobación $H=Q\cdot A$ no nos saldría. Si ese es el caso, a menudo lo más difícil es localizar dónde está el error, pero hay un método para hacer esto: en cada paso intermedio, por ejemplo $$ \left(\begin{array}{rrrr|rrr} 1 & 2 & -1 & -1 & 1 & 1 & 0\\ 3 & 6 & -3 & -3 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) $$ se ha de cumplir que el resultado de multiplicar la matriz de la derecha por la matriz de partida $A$ sea la matriz de la izquierda: $$ \left(\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrrr} -2 & -4 & 2 & 2 \\ 3 & 6 & -3 & -3 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & -1 & -1 \\ 3 & 6 & -3 & -3 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \end{array}\right) $$ si esta comprobación no nos saliese correcta sabríamos que hay en error en los pasos anteriores, si sale correcta (como en este caso), sabremos que hasta este paso está bien y si hay algún error es posterior.
De forma análoga podemos hacerlo por columnas. Una matriz de paso $P$ de forma que $C=A\cdot P$ puede obtenerse reduciendo por columnas la matriz $(\frac{A}{I})$: $$ \left( \frac{A}{I} \right) \; \sim_c \left( \frac{C}{P} \right) $$

Calcular la forma de Hermite por columnas $C$ de la matriz $$ A= \left(\begin{array}{rrrr} -2 & -4 & 2 & 2 \\ 3 & 6 & -3 & -3 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \\ \end{array}\right) $$ así como una matriz regular $Q$ de forma que $C=A\cdot P$.

$$ \left( \frac{A}{I} \right)= \left(\begin{array}{rrrr} -2 & -4 & 2 & 2 \\ 3 & 6 & -3 & -3 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right) \sim_c \left(\begin{array}{rrrr} -2 & 0 & 2 & 2 \\ 3 & 0 & -3 & -3 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right) \sim_c \left(\begin{array}{rrrr} -2 & 0 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 0 & -3 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right) \sim_c $$ $$ \sim_c \left(\begin{array}{rrrr} -2 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline 1 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right) \sim_c \left(\begin{array}{rrrr} -2 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \\ \hline 1 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right) \sim_c \left(\begin{array}{rrrr} -2 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right) \sim_c $$ $$ \sim_c \left(\begin{array}{rrrr} -2 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right) \sim_c \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right) =\left( \frac{C}{P} \right) $$ Luego: $$ C = \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) ; \;\;\; P = \left(\begin{array}{rrrr} 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right) $$ Comprobemos que $C=A\cdot P$: $$ A\cdot P = \left(\begin{array}{rrrr} -2 & -4 & 2 & 2 \\ 3 & 6 & -3 & -3 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \\ \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrrr} 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) = C $$