Álgebra lineal con métodos elementales. Resolución de ejercicios tipo

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Reducción por columnas

Lo hecho por filas en las secciones anteriores puede hacerse de forma análoga para columnas:
Las transformaciones elementales de columnas consisten en:

Tipo I: Intercambiar la posición de dos columnas.

Tipo II: Multiplicar todos los elementos de una columna por un escalar no nulo.

Tipo III: Sumar a una columna otra multiplicada por un escalar.

Dos matrices $A$ y $B$ son equivalentes por columnas y se denota $A \sim_c B$ si $B$ se obtiene de $A$ por transformaciones elementales de columnas equivalentemente sí, y sólo sí, existe una matriz regular $P$ de forma que $B=A\cdot P$.

Una matriz $C$ es escalonada reducida por columnas si verifica:

  1. Si $C$ tiene columnas compuestas enteramente por ceros (columnas nulas), éstas están agrupadas en la parte derecha de la matriz.
  2. El pivote (primer elemento no nulo) de cada columna no nula es $1$.
  3. El pivote de cada columna no nula está más abajo que el de la fila anterior.
  4. Los elementos que aparecen en la misma fila que el pivote de una columna son todos cero.

La forma normal de Hermite por columnas de una matriz $A$ filas es la única matriz $C$ de igual orden que $A$ que es escalonada reducida por columnas y equivalente por columnas a $A$.

Podemos calcular la forma de Hermite por columnas $C$ de una matriz $A$ por un método análogo al caso de filas.

Traducción a filas.

Cada problema de reducción por columnas puede traducirse a filas usando el siguiente "diccionario":

Columnas de $A$ Filas de $A^t$
$A$ escalonada reducida por filas$A^t$ escalonada reducida por columnas
$C$ forma de Hermite por columnas de $A$$C^t$ forma de Hermite por filas de $A^t$

De aquí obtenemos:

$H$ es la forma de Hermite por filas de $A^t$ $\Longleftrightarrow$ $H^t$ es la forma de Hermite por columnas de $A^t$

Es decir:

Para calcular la forma de Hermite por columnas de $A$, podemos calcular la forma de Hermite por filas de $A^t$ y hacer su traspuesta.
En ${\tt Matlab}$ y ${\tt Octave}$, el comando para calcular la forma de Hermite por filas de una matriz $A$ es $\mathtt{rref(A)}$ y la forma de Hermite por columnas se obtiene con $\mathtt{rref(A')'}$. ($\mathtt{A'}$ es la traspuesta de $\mathtt{A}$).

Calcular la forma de Hermite por columnas $C$ de la matriz $$ A= \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & 5 & 2 \\ \end{array}\right) $$

Hemos de calcular la forma de Hermite por columnas de $A$, que será la traspuesta de la forma de Hermite $H$ de $A^t$: $$ A^t = \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 5 \\ 1 & 0 & 2 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 4 \\ 0 & -3 & -3 \\ 1 & 0 & 2 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 4 \\ 0 & -3 & -3 \\ 0 & -2 & -2 \\ \end{array}\right) \sim_f $$ $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -2 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) $$ La forma de Hermite por filas de $A^t$ es: $$ H = \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) $$ luego la forma de Hermite por columnas de $A$ es: $$ C = H^t = \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ \end{array}\right) $$