Álgebra lineal con métodos elementales. Resolución de ejercicios tipo
Página Facebook: Álgebra lineal con métodos elementales.
Lo hecho por filas en las secciones anteriores puede hacerse de forma análoga para columnas:
Las transformaciones elementales de columnas consisten en:
Tipo I: Intercambiar la posición de dos columnas.
Tipo II: Multiplicar todos los elementos de una columna por un escalar no nulo.
Tipo III: Sumar a una columna otra multiplicada por un escalar.
Dos matrices $A$ y $B$ son equivalentes por columnas y se denota $A \sim_c B$ si $B$ se obtiene de $A$ por transformaciones elementales de columnas equivalentemente sí, y sólo sí, existe una matriz regular $P$ de forma que $B=A\cdot P$.
Una matriz $C$ es escalonada reducida por columnas si verifica:
- Si $C$ tiene columnas compuestas enteramente por ceros (columnas nulas), éstas están agrupadas en la parte derecha de la matriz.
- El pivote (primer elemento no nulo) de cada columna no nula es $1$.
- El pivote de cada columna no nula está más abajo que el de la fila anterior.
- Los elementos que aparecen en la misma fila que el pivote de una columna son todos cero.
La forma normal de Hermite por columnas de una matriz $A$ filas es la única matriz $C$ de igual orden que $A$ que es escalonada reducida por columnas y equivalente por columnas a $A$.
Podemos calcular la forma de Hermite por columnas $C$ de una matriz $A$ por un método análogo al caso de filas.
Cada problema de reducción por columnas puede traducirse a filas usando el siguiente "diccionario":
Columnas de $A$ | Filas de $A^t$ |
$A$ escalonada reducida por filas | $A^t$ escalonada reducida por columnas |
$C$ forma de Hermite por columnas de $A$ | $C^t$ forma de Hermite por filas de $A^t$ |
De aquí obtenemos:
$H$ es la forma de Hermite por filas de $A^t$ $\Longleftrightarrow$ $H^t$ es la forma de Hermite por columnas de $A^t$ |
Es decir:
Para calcular la forma de Hermite por columnas de $A$, podemos calcular la forma de Hermite por filas de $A^t$ y hacer su traspuesta.En ${\tt Matlab}$ y ${\tt Octave}$, el comando para calcular la forma de Hermite por filas de una matriz $A$ es $\mathtt{rref(A)}$ y la forma de Hermite por columnas se obtiene con $\mathtt{rref(A')'}$. ($\mathtt{A'}$ es la traspuesta de $\mathtt{A}$).
Hemos de calcular la forma de Hermite por columnas de $A$, que será la traspuesta de la forma de Hermite $H$ de $A^t$: $$ A^t = \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 5 \\ 1 & 0 & 2 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 4 \\ 0 & -3 & -3 \\ 1 & 0 & 2 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 4 \\ 0 & -3 & -3 \\ 0 & -2 & -2 \\ \end{array}\right) \sim_f $$ $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -2 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) $$ La forma de Hermite por filas de $A^t$ es: $$ H = \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) $$ luego la forma de Hermite por columnas de $A$ es: $$ C = H^t = \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ \end{array}\right) $$