Álgebra lineal con métodos elementales. Resolución de ejercicios tipo

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Resolución de sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss-Jordan

Dado un sistema de ecuaciones lineales: $$ \left\{ \begin{array}{lcl} a_{11}x_{1}+\dots +a_{1n}x_{n} &= &b_{1}\\ a_{21}x_{1}+\dots +a_{2n}x_{n} &= &b_{2}\\ \dots & \dots & \dots \\ a_{m1}x_{1}+\dots +a_{mn}x_{n} & = &b_{m}\\ \end{array} \right. $$ su matriz ampliada es la matriz de orden $m \times (n+1)$: $$ (A|B)= \left(\begin{array}{rrrrr} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}&b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}&b_{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} &b_{m} \end{array}\right) $$ El método de Gauss-Jordan para la resolución de sistemas de ecuaciones tiene dos fases:

Reducción.

Si las matrices ampliadas de dos sistemas de ecuaciones son matrices equivalentes por filas entonces dichos sistemas tienen las mismas soluciones (son sistemas equivalentes). Así pues será igual resolver el sistema de partida que el sistema cuya matriz ampliada es la forma de Hermite por filas de $(A|B)$. Este nuevo sistema será escalonado reducido y mucho mas fácil de resolver. Veamos algunos ejemplos:

El sistema $$ \left\{ \begin{array}{rrr} x + y + 2 z &= &4\\ 2x + y &= &1\\ y + 3 z &= &2\\ \end{array} \right. $$ tiene matriz ampliada: $$ \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ \end{array}\right) $$ cuya forma de Hermite por filas es (compruébese): $$ \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & 0 & -13 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \\ \end{array}\right) $$ luego el sistema de partida es equivalente al sistema: $$ \left\{ \begin{array}{lcl} x &= &7\\ y &= &-13\\ z &= &5\\ \end{array} \right. $$

El sistema $$ \left\{ \begin{array}{rrr} 3x + 3y + 2 z &= &18\\ 2x + 2y +z &= &11\\ 3x + 3y + 2 z &= &18\\ \end{array} \right. $$ tiene matriz ampliada: $$ \left(\begin{array}{rrr|r} 3 & 3 & 2 & 18 \\ 2 & 2 & 1 & 11 \\ 3 & 3 & 2 & 18 \\ \end{array}\right) $$ cuya forma de Hermite por filas es (compruébese): $$ \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) $$ luego el sistema es equivalente al sistema: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x +y &= & 4 \\ z &= & 3\\ \end{array} \right. $$

El sistema $$ \left\{ \begin{array}{rrr} 3x + 3y + 2 z &= &19\\ 2x + 2y +z &= &12\\ 3x + 3y + 2 z &= &18\\ \end{array} \right. $$ tiene matriz ampliada: $$ \left(\begin{array}{rrr|r} 3 & 3 & 2 & 19 \\ 2 & 2 & 1 & 12 \\ 3 & 3 & 2 & 18 \\ \end{array}\right) $$ cuya forma de Hermite por filas es (compruébese): $$ \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right) $$ luego el sistema es equivalente al sistema: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x +y &= & 0 \\ z &= & 0\\ 0 &= & 1\\ \end{array} \right. $$

Resolución.

Ahora que sabemos reducir cada sistema a uno escalonado reducido equivalente, hemos de ver cómo resolver un sistema escalonado reducido. Para ello es útil dividir las incógnitas de un sistema escalonado reducido en dos tipos: incógnitas principales, las que son primera incógnita de una ecuación, que se corresponden con los pivotes de la matriz escalonada reducida e incógnitas secundarias (o libres), las restantes. Se nos pueden presentar tres casos:

1. Si aparece la ecuación $0=1$ el sistema es incompatible (en este caso $rg(A)\neq rg(A|B)$). Por ejemplo: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x +y &= & 0 \\ z &= & 0\\ 0 &= & 1\\ \end{array} \right. $$

2. Si no aparece la ecuación $0=1$ y todas las incógnitas son principales, el sistema es compatible determinado y su solución única salta a la vista. En este caso $rg(A)= rg(A|B)= $número de incógnitas. Por ejemplo: $$ \left\{ \begin{array}{lcl} x &= &7\\ y &= &-13\\ z &= &5\\ \end{array} \right. $$

3. Si no aparece la ecuación $0=1$ y existen incógnitas secundarias, el sistema es compatible indeterminado. En este caso $rg(A)= rg(A|B) < $ número de incógnitas. Por ejemplo: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x +y &= & 4 \\ z &= & 3\\ \end{array} \right. $$ la solución general del sistema se obtendrá asignando un parámetro a cada una de las incógnitas secundarias (estas incógnitas pueden tomar cualquier valor) y despejando las principales. En nuestro ejemplo obtendríamos: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x &= & 4 -\lambda\\ y & = & \lambda \\ z &= & 3\\ \end{array} \right. $$ NOTA: Sólo se debe hacer la asignación de parámetros a incógnitas en un sistema compatible indeterminado cuando el sistema es escalonado reducido (y sabemos cuáles son las incógnitas principales y cuáles las secundarias) y no antes. La asignación se debe hacer a las incógnitas secundarias y no a las principales. Por ejemplo, si consideramos el sistema: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z &= & 0\\ x + y + 2z &= & 1\\ \end{array} \right. $$ podemos vernos tentados de asignar un parámetro a $z$, lo cuál sería un grave error, ya que si lo hacemos correctamente obtenemos: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z &= & 0\\ z &= & 1\\ \end{array} \right. $$ $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x &= & -1-\lambda\\ y &=& \lambda \\ z &= & 1\\ \end{array} \right. $$

NOTA: Un sistema es homogéneo si todos los términos independientes son cero. Todo sistema homogéneo es compatible (admite al menos la solución trivial $x_1=0, \dots , x_n=0$).

Discutir y resolver, en su caso, el sistema de ecuaciones lineales: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} 3x +2y +z&= & 1 \\ 2x+3y+z &= & 0\\ 2x+ y+3z &= & 0\\ \end{array} \right. $$

La matriz ampliada del sistema es: $$ \left(\begin{array}{rrr|r} 3 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \\ \end{array}\right) $$ Calculamos su forma de Hermite por filas: $$ \left(\begin{array}{rrr|r} 3 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 2 & 0 \\ \end{array}\right) \sim_f $$ $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 5 & 1 & -2 \\ 0 & -2 & 2 & 0 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 5 & -2 \\ 0 & -2 & 2 & 0 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 5 & -2 \\ 0 & 0 & 12 & -4 \\ \end{array}\right) \sim_f $$ $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 5 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{3} \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 5 & -1 \\ 0 & 1 & 5 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{3} \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 5 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{3} \\ \end{array}\right) \sim_f $$ $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{3} \\ \end{array}\right) $$ luego el sistema es equivalente al sistema escalonado reducido: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x &= & \frac{2}{3}\\ y &=& -\frac{1}{3} \\ z &= & -\frac{1}{3} \\ \end{array} \right. $$ y por tanto es compatible determinado con solución $x = \frac{2}{3}, \; y = -\frac{1}{3} , \; z = -\frac{1}{3}$.

Discutir y resolver, en su caso, el sistema de ecuaciones lineales: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} 3x +2y +z&= & 1 \\ 2x+3y+z &= & 0\\ x+ 4y+z &= & 0\\ \end{array} \right. $$

La matriz ampliada del sistema es: $$ \left(\begin{array}{rrr|r} 3 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 1 & 0 \\ \end{array}\right) $$ Calculamos su forma de Hermite por filas: $$ \left(\begin{array}{rrr|r} 3 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 1 & 0 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 4 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 0 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 0 \\ \end{array}\right) \sim_f $$ $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & 1 \\ 0 & -5 & -1 & 0 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -5 & -1 & 0 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 \\ \end{array}\right) \sim_f $$ $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right) $$ luego es sistema es equivalente a: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x+\frac{1}{5}z&= & 0 \\ y+\frac{1}{5}z&= & 0 \\ 0 &= & 1\\ \end{array} \right. $$ y por tanto es incompatible.

Discutir y resolver, en su caso, el sistema de ecuaciones lineales: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} 3x +2y +z&= & 1 \\ 2x+3y+z &= & 2\\ x+ 4y+z &= & 3\\ \end{array} \right. $$

La matriz ampliada del sistema es: $$ \left(\begin{array}{rrr|r} 3 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & 1 & 3 \\ \end{array}\right) $$ Calculamos su forma de Hermite por filas: $$ \left(\begin{array}{rrr|r} 3 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & 1 & 3 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 4 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 2 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 4 & 1 & 3 \\ 0 & -10 & -2 & -8 \\ 2 & 3 & 1 & 2 \\ \end{array}\right) \sim_f $$ $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 4 & 1 & 3 \\ 0 & -10 & -2 & -8 \\ 0 & -5 & -1 & -4 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 4 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -4 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 4 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & \frac{4}{5} \\ \end{array}\right) \sim_f $$ $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 4 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & \frac{4}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & \frac{1}{5} & -\frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & \frac{4}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) $$ luego es sistema es equivalente a: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x+\frac{1}{5}z&= & -\frac{1}{5} \\ y+\frac{1}{5}z&= & \frac{4}{5} \\ \end{array} \right. $$ Las incógnitas principales son $x$ e $y$ mientras que $z$ es una incógnita secundaria o libre. En consecuencia, el sistema es compatible indeterminado y su solución general es: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x&= & -\frac{1}{5}-\frac{1}{5}\lambda \\ y&= & \frac{4}{5} -\frac{1}{5}\lambda \\ z &= & \lambda \\ \end{array} \right. $$