ANÁLISIS DIDÁCTICO DE “EL PESO DE UN RECIPIENTE” DESDE LOS ENFOQUES COGNITIVO Y SEMIÓTICO

J.M. Belmonte,  M. C. Chamorro, S. Simarro y F. Vecino
(Dpto. de Didáctica de las Matemáticas. Universidad Complutense de Madrid)

1. INTRODUCCIÓN
Si bien la propuesta inicial, que todos aceptamos, fue la de trabajar a partir del artículo publicado en la revista Grand N, encontramos por azar un vídeo, grabado en la escuela Michelet, correspondiente a la primera parte de la lección descrita en dicho artículo, y decidimos utilizarlo. Quisimos así, hacer intervenir una nueva variable que tendría como objeto ayudar a perfilar cuáles serían los soportes materiales más idóneos a utilizar en relación con los instrumentos metodológicos escogidos, y si la disponibilidad, o no, de éstos podía condicionar los resultados del estudio. Se obtiene así, un análisis enriquecido al poderse observar dualidades correspondientes a diferentes realidades como, lo previsto y lo sucedido, lo planeado y el hecho consumado, las consignas previstas y las escuchadas.
2. . Análisis epistemológico de los saberes en juego.
Vamos a utilizar el modelo de entornos de Lucienne Félix, ampliado después por G. Brousseau en el artículo que nos ocupa. Se distinguen ocho entornos. A saber: 1. Objetos soporte, 2. La magnitud, 3. El valor particular o cantidad de magnitud, 4. La medida aplicación, 5. La medida imagen, 6. La medida concreta, 7. La medición y 8. El orden de magnitud.
Los aspectos más relevantes de la lección se enmarcan dentro de los entornos 4, 5, 6, 7 y 8. El entorno 2 se considera sobradamente conocido, hasta el extremo de no guardar las debidas precauciones en cuanto al uso de la estimación sensorial, estimándose la masa con la vista, por lo que cabe esperar que los alumnos sean capaces de discriminar la magnitud masa al margen de los índices perceptivos.
Objetos soporte y magnitud. 
Los objetos soporte son los objetos a medir, en los que es posible aislar una cualidad que será constitutiva de la magnitud. Estos objetos pueden ser concretos, físicos, aunque en muchas ocasiones, se trate de meros objetos idealizados o matematizados con un claro carácter ostensivo. 
En el caso de la actividad aquí propuesta se va a medir un objeto totalmente tangible: un recipiente con agua. El enunciado del primer objetivo de la actividad  hace referencia al hecho de las dificultades que los alumnos tienen para determinar el peso de un recipiente vacío, al considerar el recipiente como indisociable de su contenido, enmarcándose por tanto en el ámbito de los entornos 1 y 2.
Sin embargo a los niños no se les permite que movilicen conocimientos relativos a la magnitud masa dentro de estos entornos.
 En el inicio de la situación se obliga a los niños a utilizar sólo la vista para estimar el peso de un recipiente con agua. Ya la consigna, en la que se utiliza en algún momento la palabra “adivinar”, es bastante desconcertante para los niños. Esto fomenta el uso de estrategias basadas en el azar que, como se afirma al final del documento, será necesario combatirlas de manera explícita.
Lo que muestra este comienzo es el carácter subalterno que se les asigna a los esquemas de estimación que sería necesario movilizar para prever el peso del recipiente con un  vaso de agua.
 Se pierde, además, una buena ocasión para confrontar los distintos niveles de certidumbre sobre los resultados que proporcionan las estrategias basadas en la estimación y las basadas en procedimientos de cálculo.
La aplicación medida.
La aplicación medida funciona sólo en un sentido a lo largo de la actividad: dada una masa debe buscarse su imagen. Sin embargo, en ningún momento debe buscarse una masa que pese una cantidad dada.
La aditividad de la medida funciona como un teorema en acto usado implícitamente por los alumnos. Todos dan por supuesto que esta aditividad se cumple. Los cálculos que hacen adicionando y sustrayendo, por ejemplo:
553 - 383 = 170 (3V - 2V) para hallar el peso de un vaso
553 + 170 = 723 ( 3V + 1V) para hallar el peso de 4 vasos
se basan justamente en esta propiedad.
La aplicación medida µ es una medida de tipo directo, ello significa que a efectos de medida, una masa se compara con una masa patrón, obteniéndose la medida mediante un proceso aditivo que incluye el conteo del número de veces que se ha utilizado el patrón con el que hemos comparado; como mucho, el cálculo puede hacerse a través de un producto por un escalar. Es decir, que en este tipo de medidas no cabe servirse de unas magnitudes para medir otras, por lo que el proceso es más intuitivo y menos artificial que en magnitudes bi o tridimensionales.
Así, en la actividad propuesta, los alumnos admiten que el peso total del recipiente aparece como suma de las pesas que hay en el platillo que lo equilibra, y esto es otra aplicación de la aditividad, la que más se usa, la más común.
La medida concreta.
 Se designa con el nombre de medida concreta la expresión que da la medida de una cantidad de magnitud indicando el número imagen y la unidad que determina la aplicación medida. Este sentido se corresponde con la significación habitual en el ámbito escolar. 
En las actividades introductorias  que aparecen en el vídeo hay un trabajo en torno a la medida concreta.
En la enseñanza elemental la medida concreta, el número-medida se reduce, en general, a los números enteros, fraccionarios o decimales, obtenidos a través del fraccionamiento de la unidad, evitando en todo momento la aparición o utilización de los números reales, lo que obliga, en muchos casos, a admitir el espejismo de la medida exacta de un objeto a nivel experimental, sin entrar de lleno en el debate de la precisión y la aproximación. Se escoge generalmente un valor central del intervalo en el que se mueven los distintos resultados obtenidos, o bien la moda, sin dar a los alumnos ni los medios y la oportunidad para juzgar sobre el error cometido, su origen y su importancia.
Este es justamente el caso que nos ocupa. El nivel de los alumnos no permite la utilización de otros números distintos que los naturales, por lo que todas las pesadas deben darse por buenas desde el momento en que pueda reconocerse el equilibrio, si bien la fragilidad de éste es manifiesta a través de toda la actividad. A pesar de ello, nadie ha planteado la posibilidad de usar pesas menores de 1 gramo o una balanza de precisión, lo que por otra parte hubiese resultado del todo improcedente, didácticamente hablando. Sólo al final, cuando las previsiones del cálculo no coinciden con las pesadas reales, se señala la posible no precisión de la balanza.
La medición.
Si la medida matemática goza de una precisión tachada de irreal, la medida experimental se caracteriza por su imprecisa precisión, y requiere para su práctica no sólo conocimientos, también saberes de tipo práctico, obtenidos como producto más o menos elaborado de reflexiones y procedimientos, unidos a los resultados buenos o malos del que la practica. 
El objetivo final de la situación es, a nuestro juicio, la confrontación entre la imagen obtenida como resultado de aplicar la aplicación medida -el cálculo-, y el resultado producto de la medición -el resultado de pesar con la balanza-. Es la confrontación entre la exactitud y la aproximación, entre lo inalcanzable y lo posible, es la búsqueda de una explicación razonable que justifique la diferencia de valores.
La acción de pesar con la balanza supone, desde nuestro punto de vista la utilización de conocimientos, la activación de esquemas precisos que más adelante detallaremos. Todos estos conocimientos se suponen conocidos, ya que la situación pasa por alto todas las cuestiones relativas al uso de la balanza.
Una de las razones que pueden explicar la falta de atención dedicada a evitar los errores en la medición, puede ser el hecho de que ésta, la medición, sólo va a funcionar como sistema de validación de una estimación que difícilmente será precisa, por lo que los errores cometidos en el uso de la balanza no tienen incidencia en el resultado final. Tampoco tienen incidencia en relación con los valores obtenidos mediante el cálculo, pues siempre habrá una ligera desviación. Bastará con evitar errores groseros capaces de desvirtuar el resultado.
Viendo el vídeo y leyendo la descripción de la actividad, se puede concluir que un objetivo de la lección no es, en modo alguno, la adquisición de métodos de medida.
El orden de magnitud.
En nuestro caso debería haber jugado un papel preponderante, pero tanto el desarrollo escrito como el vídeo muestran que no ha sido así. La maestra usa cada vez que recoge los resultados de una nueva estimación, un intervalo en el que los sitúa. Este comportamiento que hace pensar en un encuadramiento que ayude posteriormente a fijar el orden de magnitud, y por consiguiente a mejorar la nueva estimación, no se aprovecha en este sentido. Por otra parte, el inicio de la actividad haría pensar en que los alumnos tienen de antemano una estimación del orden de magnitud del peso de un vaso de agua.
Es precisamente el tratamiento deficitario de este aspecto el que provoca la aparición de respuestas más o menos disparatadas, fruto del azar y no de una estimación basada en el orden de magnitud. Observamos pues cierta contradicción entre los medios de validación de los que deberían disponer los alumnos, la estimación entre otros, y las respuestas que se espera de ellos.
3. Teoría de Situaciones versus Teoría de los Campos Conceptuales
Si bien nuestro propósito es el de analizar la situación didáctica “El peso de un recipiente” desde el punto de vista de la Teoría de los Campos Conceptuales de Vergnaud, y no desde la Teoría de Situaciones, no podemos olvidar que para Vergnaud, un concepto sólo adquiere sentido en relación con una familia de situaciones, por lo que es imposible no hacer referencia al contexto, a la situación concreta. 
Los esquemas son los  organizadores de la conducta, y según Céllerier tienen una estructura semantotópica, esto es, se estructuran según relaciones semánticas, de tipo significante, y funcionales; se guardan “por materias” y se ordenan según su contenido. almacenándose en la memoria “en función del tipo de tareas que permiten resolver y a partir de las cuales se construyen”. La activación de un esquema depende del contexto, ya que es este, la situación, la que permite una centración del sistema cognitivo en un esquema o una familia de esquemas.
Para Vergnaud el papel del enseñante es el de “(...) ofrecer al sujeto situaciones, es decir, ocasiones de ejercer los esquemas existentes (controlando mejor las operaciones y las condiciones, automatizando ciertas partes), y desarrollar esquemas nuevos (conceptualizaciones y reglas de acción nuevas, metas y tareas no habituales)”. Pero el mismo Vergnaud advierte de que “para que una situación imaginada por el maestro sea una situación para el sujeto, es necesario que este último disponga de los medios cognitivos para reconocer en ella una intención posible para él, las informaciones utilizables y las acciones posibles”.
Es por tanto más que razonable proceder a un análisis previo de la situación planteada en el artículo objeto de análisis, pues las anticipaciones, reglas de acción, teoremas en acto, etc., sólo pueden aparecer si la situación lo permite y las conductas analizables, en las que subyacen los esquemas, pueden manifestarse como respuesta al desafío que plantea la situación.
3.1. Las condiciones a-didácticas de la situación propuesta.
•	 La parte previa a la introducción de la lección, que no aparece mencionada en el artículo, aunque si en la grabación, tiene un carácter de ejercicio didáctico de aplicación, cuyo objetivo consiste en recordar el nombre, la escritura y relación existente entre las unidades usuales de masa, conocimientos que la maestra va a utilizar desde el primer momento y que necesita para poder utilizar la representación gráfica de la tabla de datos, en la que va a registrar el número de vasos de agua, las previsiones y el cálculo del peso (este registro de datos, conforme a la tabla del artículo, no aparece en el vídeo).
La expresión del cálculo del peso, que fuerza una escritura canónica al imponer  una escritura en hectogramos (hg), decagramos (dg) y gramos (g), se supone ya conocida por los alumnos, pues han trabajado ya la longitud, pero sobre todo la masa, en 14 sesiones anteriores.
Por todo ello, esta parte tiene un carácter didáctico formal.
•	 Una situación a-didáctica es siempre específica para un conocimiento dado, por lo que la primera cuestión abordada fue la determinación del saber objeto de la situación. Y aquí es justamente donde aparece la primera dificultad: hay indicios contradictorios. Se proclama como objetivo (b), en el artículo, presentar a los alumnos el problema de la diferencia entre los valores encontrados como producto de una medición efectiva   y los obtenidos a través de la previsión por el cálculo. Sin embargo, se juega constantemente con la estimación, lo que contribuye a crear un medio didáctico que no permite distinguir los tipos de error ni su procedencia.
•	 El propio Brousseau, que interviene en la lección de manera esporádica pero constante, creando no pocas interferencias, se ve obligado a aclarar a los alumnos que cuando se les pide que calculen el peso de dos, tres o cuatro vasos de agua, no se trata de una adivinanza, lo que pone de manifiesto la existencia de un contrato didáctico fluctuante que no permite diferenciar entre estimación y cálculo, entre errores evitables y controlables y errores inherentes a la propia actividad de estimación.
•	 Las variables didácticas de la situación parecen reducirse al número de vasos de agua que se emplean, por lo que la determinación de las estrategias asociadas no resulta fácil, ya que dichas estrategias, tendentes a la disminución del error, se encuentran en relación muy directa con los procedimientos de cálculo.
La estrategia de base procede de la experiencia personal del alumno, de sus conocimientos privados. Hay que suponer que el alumno tiene alguna idea del orden de magnitud del peso de un vaso de agua, y que puede por tanto hacer una estimación y responder a la pregunta de la maestra : ¿Cuánto puede pesar esto?. En caso contrario, es el azar el que actúa como estrategia de base, y algunos alumnos durante bastante tiempo, están convencidos de que no existe un método para encontrar el peso correcto.
El cambio de estrategia, que pasa de la estimación a la anticipación por el cálculo, es sólo posible para una parte de la clase. El resto entrevé un procedimiento después de la fase de comunicación, cuando algunos alumnos han explicitado su método de cálculo. Lo que relanza de nuevo la situación para estos alumnos, es la nueva consigna: “ Vamos a discutir todos para ver quién tiene razón (se refiere al método usado), y después, si queréis podéis cambiar vuestra previsión”.
•	 La situación está muy bien construida en lo que se refiere a dos aspectos: la incertidumbre y la posibilidad de repetir el juego. 
Durante buena parte de la lección los alumnos dudan sobre cómo encontrar el peso de un vaso, en parte por el contrato didáctico confuso que hace pensar, a veces, que se trata de una estimación, pero también porque no saben cómo proceder. Las pesadas con la balanza invalidan sus resultados, pero no les proporcionan indicios sobre cómo han de proceder en lo que sigue. La incertidumbre es tan fuerte que algún alumno pregunta de forma directa y explícita a la maestra si existe algún método.
Las pesadas podrían sucederse más allá de los cinco vasos sin que se resintieran las características a-didácticas de la situación, por lo que su carácter repetible está fuera de toda duda.
•	 La validación es interna, pero las retroacciones que proporciona el medio son insuficientes para poner en marcha un método sistemático de cálculo para buscar el peso de un vaso. Es la fase de comunicación la que permite un intercambio y una interacción alumno-alumno, e instala en los alumnos la idea de que existe una estrategia de resolución que no depende del azar. Sin embargo, ello no es suficiente para que los alumnos puedan distinguir que se está en presencia de una función afín y no de una función lineal.
•	 En el vídeo se observan claramente ciertos efectos Jourdain 
La maestra deja deslizar expresiones, o hace preguntas que tienen como misión situar al alumno y darle indicios sobre lo que se busca. Así, por ejemplo, dice en un momento dado: “Quiero que me deis el peso total, no que me deis el peso que habéis puesto en el platillo”.
El propio Brousseau ante la dificultad que encuentran algunos alumnos en utilizar correctamente el esquema más económico de medición con la balanza, explica a uno de ellos: “ Hay que quedarse sólo con lo que se va a usar, quitar a medida que....”.
El empeño de la maestra por utilizar un intervalo de referencia para situar los valores propuestos por los alumnos, es una pura ficción didáctica, tal y como se analizará más adelante desde el punto de vista de los registros semióticos; el uso del intervalo tiene distinta significación para el alumno que para el maestro, sobre todo cuando ninguna actividad llevada a cabo en la situación ha determinado los extremos del mismo, lo que está de acuerdo con la interpretación que se hace más adelante del error.
En el tratamiento de los “intentos de error” cometidos por los niños, es significativa la utilización de los “silencios” de la maestra. Ignora intentos de tocar el recipiente con el agua, ignora respuestas prematuras, e ignora razonamientos correctos que no terminan en números adecuados.
El equilibrado de la balanza, por parte del niño correspondiente, no se realiza libremente; está contínuamente asesorado y asediado por el profesor que decide. Los tanteos son lentos y demuestran, a menudo, que el niño no sabe qué significa equilibrar la balanza. La lectura posterior indica una desigual comprensión previa en los diferentes alumnos del lenguaje simbólico de las inscripciones y resalta la incomprensión de la relación entre el peso real, el número escrito y su memoria perceptiva sobre el peso de medio o un kilogramo.
	Aunque las actividades parezcan partir de una situación didáctica marco, las situaciones asociadas de acción, validación, etc., aparecen confundidas o lo son sobre objetos de distinta entidad; por ejemplo la acción de cada niño sería su reconstrucción particular, a través del cálculo, de la situación contemplada; las consignas durante la validación no ofrecen retroacciones al niño sobre sus reflexiones anteriores, “pensad si es que os habéis equivocado y las diferencias son por otra causa”, y se insiste sobre los distintos procedimientos de resta o suma sin preguntar directamente ¡por el peso del recipiente o del agua contenida!.
Hay, en la situación propuesta, una involuntaria identificación de dos tipos de conocimiento: físico y matemático. Conocimiento físico, sujeto a instrumentos de medición no exactos, que proporcionan datos numéricos, fiables en tanto que encuadrables en un intervalo (dependiente a su vez indirectamente de la fidelidad de la balanza). Conocimiento matemático, abstracto-reflexivo construido por medio de cálculos aritméticos, que proporcionan resultados unívocos, obtenidos como consecuencia de operaciones mentales.
3.2. Fenómenos didácticos detectados. Su relación con los esquemas.
. Carácter contracultural de algunas unidades del S.M.D. El efecto decagramo y hectogramo.
Cuando los alumnos dictan a la maestra la masa de las pesas que están en el platillo de la balanza, los alumnos utilizan, constantemente, expresiones tales como 200 g,  siendo rectificados por la maestra que reconvierte su expresión en 2 hg, que como se verá cuando se analicen los registros semióticos, no es equivalente a la expresión usada por ellos que es un doble decagramo.
Este hecho que podría ser considerado como algo meramente local, tiene a nuestro juicio relación con un fenómeno ya detectado por nosotros.
“El Sistema Métrico Decimal, en tanto que sistema regular requiere, fundamentalmente a efectos formales de escritura de una medida, contar con todos los órdenes de unidades. Las exigencias derivadas de la escritura canónica de la medida, son tan sólo exigencias en el plano formal y escolar, en tanto que en el ámbito social y cultural resultan arbitrarias y carentes de utilidad, de forma que, incluso a niveles de comunicación, las formas acuñadas por la escuela resultan más difíciles de interpretar y crean incluso confusión entre quienes han olvidado el funcionamiento del Sistema Métrico Decimal.
La legitimidad del uso de las escrituras canónicas se ve por tanto contestada por las prácticas culturales habituales, por lo que el maestro carece de autoridad moral para imponerlas, si bien sabe que matemáticamente está forzado a ello. Tal contradicción sólo puede ser resuelta a través de la imposición, y como resultado de un contrato didáctico explícito sobre este punto.
La utilización de las unidades decagramo y hectogramo tiene en su origen una necesidad meramente matemática: preservar la regularidad del Sistema Métrico Decimal. Su carácter contracultural plantea problemas de legitimidad de su uso, que sólo pueden ser resueltas a través del contrato didáctico.”
En el caso que nos ocupa el efecto cultural es aún mayor, ya que las pesas que se usaban antiguamente en el comercio, y que son las que se usan en la lección, corresponden a medidas no canónicas, tales como los 200 g,  500 g, etc.
Por otra parte, la escritura del peso se hace siempre en unidades gramo, por lo que carece de sentido el empeño que la maestra muestra en que los alumnos utilicen la tabla preparada al efecto, y en la que la medida de la masa se escribe poniendo los hectogramos, decagramos y gramos. El comportamiento de los alumnos consiste precisamente en hacer la suma de las masas para obtener el resultado total en gramos, mientras que la exigencia didáctica de la maestra, no requerida por la situación, obliga a buscar la escritura canónica. Tal exigencia es tanto más artificial si se tiene en cuenta que los alumnos usan pesas de 1, 2 y 5 gramos (no hay 9 pesas de un gramo), por lo que para obtener los 8 g de la pesada que da 228 g, han debido efectuar la suma 1 + 2 + 5, suma permitida, en tanto que la 100 + 100 + 10 + 10 para obtener los 220 g está, sin embargo, prohibida de forma implícita.
En un momento del vídeo se puede escuchar como un alumno dicta a la maestra la masa de las pesas. El alumno dice 200g, y la maestra le rectifica diciendo: “Dame el peso con los números que te he enseñado”. La respuesta del alumno -20 decagramos-, en lugar de 2 hectogramos, constituye la prueba más clara de la no comprensión, y debe ser interpretada a todos los efectos como una respuesta al contrato didáctico impuesto por la maestra.
Se pone una vez más de manifiesto las dificultades de mantener un contrato didáctico estable en el ámbito de la medida de magnitudes, que pasa de lo cultural y social a lo escolar, apareciendo este último ámbito como contracultural y artificial en aras de lo didáctico.
•	Uso de la ostensión.
•	La ostensión en medida es un hecho bien constatado, que tiene su origen, entre otras causas, en las dificultades de gestión de las mediciones efectivas. Si bien en este caso no se puede hablar de ostensión pues hay un uso de la balanza y los resultados proceden del acto material de pesar, es decir de una medición efectiva, el uso de los sentidos sigue siendo un elemento importante. 
Así,  para evaluar el peso de un vaso de agua, la maestra pasea por la clase el recipiente con el líquido, para que los alumnos, a través de la vista, puedan hacer una estimación ajustada. Encontramos también aquí un uso equivocado de los sentidos: se sustituye el uso de la vista por la sensación del peso, el sopesado.
La interpretación de la balanza Roverbal de dos platillos se basa en la lectura de índices sensoriales, y es justamente su reconocimiento lo que permite decidir si hay que seguir poniendo más pesas, o por el contrario, si hay que quitarlas para alcanzar el equilibrio. El vídeo permite apreciar que no todos los alumnos han comprendido y asimilado el funcionamiento de la balanza, y así, siguen poniendo pesas en el platillo que se encuentra más abajo. Este hecho se corresponde con lo que nosotros habíamos constatado en relación, no sólo a la magnitud masa, sino a un fenómeno general en el tratamiento de las magnitudes: la metáfora de las prácticas de medición.
•	Las prácticas de medición como metáfora.
El predominio de los aspectos teóricos aritméticos hace que no exista el equilibrio necesario entre medida y medición, entre teoría y práctica. Se dan representaciones simplificadas de la medida que tienen como objeto permitir una lectura de las prácticas sociales de medida, lo que evidentemente no es suficiente para provocar una comprensión interiorizada de lo que supone medir, que permita anticipar y representarse la medición dejando de lado detalles específicos y sin importancia. Hay por tanto un riesgo de que el alumno construya una representación interiorizada, que si bien permite comprender las evocaciones y metáforas de medición que se usan en la relación didáctica, no sea utilizable en las mediciones efectivas, ya que hay que contar con la imposibilidad creciente de apoyarse en experiencias de los alumnos en el ámbito privado (p.e. el desconocimiento de los alumnos del funcionamiento de una balanza de dos platillos).
 La utilidad de tal representación viene por tanto, regulada por el contrato didáctico, de forma que los ejercicios que el maestro plantea al alumno, son el fruto de una ideología, y la utilidad de los mismos, sus virtudes prácticas, no son otras que las de poder responder a lo que el maestro espera, sin que su idoneidad en este sentido las haga adecuadas a la medida. Así por ejemplo, estas actividades nunca se ocupan de los errores, y ello, porque en el fondo son una vaga ilustración del cálculo que el maestro va a enseñar o ha enseñado. 
Así, como más tarde analizaremos, en ningún momento del vídeo se aborda el problema de los errores provenientes del buen o mal calibrado de la balanza, o de la idoneidad del método seguido para pesar con esa balanza. En el caso que nos ocupa, la balanza funciona gracias a Brousseau que es quien la manipula, según las reglas que Brousseau anuncia. En un momento dado se dice: “Vamos a hacer la doble pesada porque es más seguro, es más preciso”, sin que nadie en la clase pueda saber en qué consiste tal procedimiento. Brousseau golpea levemente la balanza y explica al alumno que así es más fácil encontrar el equilibrio, como si de un acto de magia se tratara. ¿Por qué?. Nadie lo pregunta, forma parte del contrato didáctico.
Una cierta dosis de verdaderas actividades de medición tendría como efecto, a nuestro juicio, un cambio del contrato didáctico, que permitiría un empleo diferente de los conocimientos de los alumnos, y como consecuencia un cambio en las concepciones de los mismos. Una hipótesis fuerte de la Teoría de Situaciones es que los conocimientos de los alumnos, son aquellos permitidos por las situaciones y las condiciones en que el alumno se encuentra, de manera que si bien las situaciones a-didácticas pueden modificar el conocimiento del alumno, es necesario que el contrato didáctico las permita. Así, todo pasa por la idoneidad, de forma que procedimientos y respuestas adecuadas a un problema pueden resultar no idóneas desde el punto de vista de lo que el profesor espera, y por tanto no permitidas por el sistema, por el contrato didáctico. Parte de lo que ocurre en esta lección podría explicarse así.
4. Esquemas detectados
La primera observación es de carácter metodológico y tiene que ver con los medios que una investigación de este tipo debería utilizar. Es muy difícil que la mera descripción de una lección pueda proporcionar los elementos de observación necesarios para localizar los esquemas utilizados por los alumnos, ni siquiera cuando la descripción es, como en el caso que nos ocupa, minuciosa.
Como ya dijimos al principio, hemos contado con la ayuda del vídeo de la sesión, lo que supone un avance en relación al texto de la misma. Sin embargo, el vídeo no recoge las respuestas individuales de los alumnos, pues la mayoría no interviene en los diálogos con la maestra, lo que es un handicap a la hora de generalizar el comportamiento, visible sólo en algunos alumnos. Sería necesario disponer de observadores que pudieran dar cuenta de la forma de proceder de los alumnos, así como de las notas y operaciones que cada uno ha hecho en el transcurso de la lección. Un trabajo en grupos de dos hubiese sido, a nuestro juicio, mucho más rico, pues el diálogo favorece la exteriorización de las acciones mentales, y permite por tanto detectar más fácilmente los conocimientos y teoremas en acto que aparecen en la actividad.
Habría que recordar además, que la Teoría de los esquemas toma en consideración, no sólo los esquemas utilizados en la resolución de una tarea, sino que se interesa por las filiaciones y rupturas en la construcción de éstos, por lo que es absolutamente necesario observar la evolución en el tiempo para un mismo individuo, pero sin olvidar que las observaciones no son generalizables, por lo que es preciso la observación de un mínimo de individuos frente a una misma tarea.
Según Cellériertodo enunciado de un problema comporta dos elementos: una consigna que define la tarea, y un dispositivo concreto o simbolizado sobre el que se ha de llevar a  cabo.
Para que el sujeto comprenda el enunciado del problema debe asimilarlo a sus estructuras cognitivas. Resolver la tarea supone asimilar el problema a sus esquemas de acción. Esto segundo es sólo posible gracias a las significaciones que proporciona la interpretación del enunciado, pues la elección de los esquemas que se van a poner en marcha, que van a ser activados, se lleva a cabo de manera funcional; es decir, dado que los esquemas “se organizan en la memoria en función de los tipos de tareas que permiten resolver y a partir de las cuales se han construido” , el contexto juega el papel de activador, a la vez que permite encontrar la vía de acceso a los esquemas guardados en la memoria.
“La función esencial del contexto es, en efecto, situar al sistema cognitivo en el espacio de los esquemas”.
La aplicación de estos esquemas a la situación concreta supone un proceso de acomodación, a lo largo del cual los esquemas pueden ser generalizados, restringidos a casos específicos, completados o desechados.
El proceso descrito, que da cuenta de las filiaciones y rupturas de las que hablábamos antes, difícilmente puede ser localizado y descrito con una sola situación, por tanto lo que avanzaremos debe ser tomado como un conjunto de indicios posibles de un comportamiento que debe ser más ampliamente observado, de manera que algunas de las suposiciones que hacemos podrían quedar desacreditadas, a la vez que resultar incompletas.
Hemos utilizado la nomenclatura que utiliza Vergnaud, distinguiendo entre:
	- Invariantes operatorios: sobre ellos reposa la operacionalidad de los esquemas, son el significado del concepto, se busca con ellos dar un contenido matemático a las organizaciones invariantes de la conducta en una clase de situaciones.
	- Teoremas en acto, considerados, junto con los conocimientos en acto, como invariantes operatorios implícitos, proposiciones que son consideradas como verdaderas por el sujeto y que le permiten tratar la situación.
	- Conocimientos en acto, categorías que le permiten extraer la información pertinente de una situación.
	- Reglas de acción en situación, permiten ante ciertas circunstancias reconocibles por el sujeto, generar una sucesión de acciones.
	- Inferencias y razonamientos, que permiten calcular al sujeto las reglas de acción y las anticipaciones a partir de las informaciones y de los invariantes operatorios de los que dispone.
Se debe a Vergnaudel clarificador diagrama que sigue sobre las relaciones entre lo real y lo significado, y que toma en consideración los conceptos que acaban de definirse:
REAL		aspectos		transformaciones		       efectos
				pertinentes		acciones		
				para el sujeto	            del 	         	        evaluación 								        sujeto	      por el sujeto
								
								reglas de generación
			invariantes				de la conducta
SIGNIFICADO	operatorios	       inferencias
			de diferentes				metas, esperas
			niveles				 anticipaciones

	Piaget hace una clasificación de los esquemas en presentativos y procedurales que se corresponde con la diferenciación entre procedimiento y estructura. Los primeros engloban tanto los de carácter representativo como sensomotor. “Los esquemas re-presentativos son opero-semióticos: aplican operaciones a símbolos o significantes, preferentemente que a los objetos, y tienen una función inferencial que comporta aplicaciones prácticas (anticipar, planificar, reconstituir), como teóricas (modelizar, deducir, explicar)”. Encontraríamos por tanto, en este nivel más abstracto los invariantes operatorios que los alumnos han utilizado de manera implícita en la resolución de la tarea propuesta, formando parte del sistema de comprensión de la realidad del que habla Piaget. A saber:
•	Comprensión del problema a resolver. Características de la tarea.
•	Representación abstracta de la noción de masa.
•	Reconocimiento de la masa en el recipiente y en el agua.
•	Comprensión del funcionamiento de la balanza.
•	Reconocimiento de la igualdad de masa a través de la situación de equilibrio de la balanza.
Suponiendo que los alumnos alcanzasen los objetivos propuestos, lo que será discutido más adelante, hay una gran riqueza de conocimientos en acto.
Los esquemas procedurales forman un sistema coordinado destinado a permitir al sujeto llevar adelante con éxito distintas tareas, cuya dificultad puede variar desde una acción elemental hasta otra más compleja en la que hay encadenada una serie de acciones o procedimientos. Para Piaget, la coordinación de esquemas, hasta formar un sistema, se lleva a cabo, esencialmente, a través de correspondencias y transferencias de métodos, que tienen como objeto favorecer la producción de nuevos procedimientos, por comparación con aquellos que han resultado exitosos en otros contextos.
Parte de la tarea que la actividad propone, tiene mucho que ver con la aplicación de conocimientos procedurales precisos relacionados con el acto de pesar. Si efectuamos la descomposición del acto de pesar, y hacemos una análisis funcional descendente de esta acción, hasta alcanzar las componentes elementales de nivel cero en términos de esquemas, con un carácter procedural acusado, encontramos que se usan diversos conocimientos en acto en varios aspectos de la actividad.
La comprensión del funcionamiento de la balanza lleva aparejada la asignación de significado a los distintos elementos que forman parte del instrumento de medida:
- diferenciación de los dos platillos y del distinto papel asignado a cada uno de ellos.
- correspondencia entre masas y pesas, conocimiento de las unidades de masa, comprensión de la escritura de las pesas.
- asociación a cada pesa, a su escritura de un orden de magnitud.
- papel asignado al fiel de la balanza en una balanza Roverbal, significado atribuible a su posición.
- lectura de la posición de los platillos, atribución de significado a las distintas posiciones, control de las acciones que permiten pasar de una posición a otra.
Cada uno de estos aspectos supone una forma de significación controlada, una unidad de representación de la acción de pesar que se va construyendo a medida que las acciones descritas se integran para constituir un modelo de la acción en juego. Así, el sujeto va tomando consciencia de que: el objeto -recipiente + agua- pesa, las pesas tienen también un peso, la balanza tiene dos platillos, la posición de los platillos permite extraer información sobre la masa del objeto que se pesa, los platillos se pueden equilibrar, si el platillo de las pesas está más bajo sobran pesas, si el platillo de las pesas está más alto hay que continuar poniendo pesas.
•	 Equilibrado de la balanza
- procedimiento de equilibrado de la balanza con un platillo vacío.
•	Aplicación de la comprensión de la aditividad de la masa
- procedimiento de equilibrado de la balanza cuando ésta se encuentra desequilibrada, con pesas en un platillo y el objeto a pesar en el otro.
Este último aspecto, el equilibrado de la balanza hasta conseguir obtener el peso del recipiente + agua, supone la adquisición de un procedimiento complejo que se estructura, y así puede verse en el vídeo, poco a poco, de manera que el individuo construye un modelo que se va enriqueciendo, en el sentido de que engloba cada vez más casos particulares, y acaba por independizarse de la situación particular, del tipo de objeto pesado, de las pesas utilizadas en cada pesada, de las situaciones intermedias hasta llegar al equilibrado, etc.
No estamos, sin embargo, en condiciones de presentar un protocolo que dé cuenta del orden en que se produce la construcción de dicho modelo. Necesitaríamos para ello poder disponer de un estudio clínico, en el que se analizasen y descompusiesen las acciones llevadas a cabo por distintos sujetos frente a la tarea de pesar con una balanza Roverbal, buscando el modelo que sustenta dichas acciones.
La construcción de ese modelo va a entrañar el descubrimiento y utilización de reglas de acción, así como de los mecanismos de control que rigen el procedimiento que podemos denominar “pesar con una balanza de platillos”, organizando las representaciones de los sujetos y guiando los procedimientos para conseguir el objetivo (carácter teleonónico de los esquemas). Encontramos las siguientes
Reglas de acción
•	 Elección de las pesas adecuadas de entre el juego de pesas proporcionado.
•	 Esquema de pesada más rentable.
•	Asociar un número a una masa. Leer el resultado de una pesada.
•	 Correspondencia entre operaciones numéricas y esquemas.
Si bien el contrato didáctico de la situación analizada, del que ya hemos hablado, limita bastante, aparecen ciertos mecanismos de metacontrol a través de los que el individuo pone en marcha los procedimientos de marcha atrás, que tienen como misión encontrar la vía de resolución para una tarea. Así, los alumnos rehacen una pesada, quitan pesas y las ponen de nuevo, hacen una estimación y la rectifican, rehacen un cálculo, etc. 
Es justamente este aspecto el más limitado de la situación, los estudiantes tienen pocas oportunidades de volver hacia atrás con control. Lo que caracteriza esa vuelta atrás es el desconcierto, la imposibilidad de comprender el fracaso de los esquemas puestos en marcha. El individuo llega a resultados numéricos inesperados, sin que pueda, en la mayoría de los casos, explicar verbalmente en las etapas tercera y cuarta el porqué de su fracaso. En ocasiones, cuando el individuo puede hacer explícitas las causas de su fracaso, esto le permite entrar de nuevo en la actividad ensayando un procedimiento nuevo. En todos estos casos el individuo pone en marcha mecanismos de deslizamiento, caracterizados por la pérdida de control del individuo sobre la situación, por el cambio de procedimiento forzado por la realidad. Así, algunos alumnos llegan a cambiar momentáneamente el cálculo por  el azar. otros desconfían de que haya un procedimiento que permita hacer una previsión, sobre todo cuando encuentran, según el procedimiento usado, que un vaso pesa 170g ó 155g, etc..
De manera muy clara afloran en distintos momentos de la actividad teoremas en acto como:
Aditividad de la aplicación medida. Y ello en dos sentidos, aplicando que el peso de, por ejemplo 3 vasos, es el de 2 vasos más 1 vaso. y reconociendo, cuando la balanza está equilibrada, que el peso del recipiente se corresponde con la suma de la masa de las pesas que están en el otro platillo.
Linealidad de la masa. Varios niños, para encontrar el peso de 3 vasos de agua, multiplican por 3 el peso de 1 vaso.
4.1. Los esquemas y reglas de acción correspondientes a la aditividad de la aplicación medida
Los esquemas que se movilizan a lo largo de la primera lección se basan en    la aditividad de la aplicación medida. Esto conduce a desarrollar las estrategias de resolución a partir de los conocimientos que tiene el niño sobre problemas aditivos, en particular los llamados de tipo I o de composición de medidas, según la clasificación de Vergnaud sobre problemas aditivos. (Vergnaud, 1990 y 1991). Veamos ahora la particularización de los problemas aditivos correspondientes a las distintas etapas de la actividad.
Primera etapa :
En esta primera etapa se trata de hacer una previsión del peso de un recipiente que contiene el agua de un vaso.  Llamaremos R al peso del recipiente vacío, V al peso del agua de un vaso y T1 al peso total. El problema aditivo planteado, correspondiente a una composición de medidas, vendría representado por el siguiente diagrama:
R		V
		T1
En esta primera etapa son desconocidos los dos componentes R y V, de donde la obtención de T1 se basará en conocimientos propios de los entornos de los objetos soporte y de la magnitud
Segunda etapa :
Ya se dispone mediante la primera pesada del valor de T1, 228g. Si llamamos T2 al peso total del recipiente con el agua de dos vasos, el diagrama del problema aditivo de esta segunda etapa sería
R		V
	   	 T1(228g)		V
		      	      T2 
Aquí se conoce sólo T1 y se trata de determinar el valor de T2, y por ello los conocimientos de estimación tienen que ponerse en funcionamiento, todavía, para obtener un resultado satisfactorio. Sin embargo, aparece el esquema defectuoso de no asignar valor alguno a R, convirtiendo así el problema en el siguiente
			T1 = V		V
				T2    
Así pues la previsión de T2  se convierte, al aplicar el teorema en acto de la aditividad de la aplicación medida,  en la obtención del doble de V. Así actúa la gran mayoría de los niños, quizá movidos por el contrato fluctuante acerca de si se trata de una adivinanza , una estimación, o hay algún procedimiento más algoritmizado.

Tercera etapa :
La nueva pesada nos ofrece un nuevo dato: T2  es igual a 383g. Si llamamos T3 al peso del recipiente con el agua de tres vasos. El diagrama del nuevo problema aditivo queda como sigue:	
R		V
				T1 (228g)  		V
					     T2 (383g)   		V
						      	 T3    
Los datos conocidos son T1, y T2, con lo que ya se puede establecer con toda seguridad el valor de la incógnita pedida T3. 
T1 + V = T2    228 + V = 383    V = 383 – 228 = 155
Como  T2 + V = T3     T3 = 383 + 155 = 538
De donde se obtiene que T3 = 538g
Naturalmente esta certeza se puede asegurar desde el punto de vista aritmético. Así actúan ya una decena de alumnos, aunque todavía persiste en algunos la idea de que T3 es igual al triple de V. Los procedimientos basados en el azar son descartados antes de la comprobación física de T3, al insistir la maestra sobre la seguridad de la validez de los resultados. Sólo los alumnos que han basado su estrategia en cálculos serán los únicos que tendrán herramientas de formulación, y de una posible validación, de sus procedimientos, no así los que contesten al azar o con estimaciones.
Tras realizar la pesada, el resultado (553g) no coincide con las previsiones “correctas” que se ajustan a este esquema. Ahora bien, si la emergencia de estos esquemas es uno de los objetivos de la actividad, a nuestro juicio, esto se ve obstaculizado por la interferencia de otro factor que altera estas previsiones: el error  inherente a todo proceso físico de medición. Si la actividad intenta provocar la evolución de los esquemas de los alumnos hasta conseguir la construcción de procesos similares a los representados por los diagramas anteriores, la evolución puede quedar abortada (y así ocurre en algunos casos) cuando el niño observa que sus previsiones no han resultado correctas, sin que tenga medios a su alcance para evaluar y corregir sus errores.
Cuarta etapa :
	Si llamamos T4 al peso del recipiente con el agua de cuatro vasos, el diagrama del problema aditivo en esta etapa queda como sigue:
R		V
			T1 (228g)  		V
				        T2 (383g)   		V
						       T3  (553g)		V
								     T4
	Se trata aquí de obtener T4 conociendo T3, T2 y T1. No estamos ante un problema aditivo sencillo. Aunque los problemas aditivos de composición de medidas sean en principio los de menor dificultad, aquí nos encontramos con un problema complejo compuesto por una sucesión de otros más sencillos. Además cada uno de estos más sencillos hay que resolverlo en sentido inverso al de su desarrollo cronológico, lo que incrementa su dificultad.
	Pero la resolución del problema así planteado es imposible. En realidad hay más datos de los necesarios y esto crea contradicciones. Así, si calculamos V a partir de T3  y T2  obtenemos 170g; si lo calculamos a partir de T2 y T1 obtenemos 155g, con lo que la anticipación de T4 se antoja imposible utilizando los esquemas aditivos “correctos”. Según los autores es esta contradicción la que supone el salto informacional que debe provocar la adaptación de las  estrategias, basadas en esquemas que surgen del cálculo,  a la necesidad de contemplar el error en la medida.
	Este es el objetivo de la segunda actividad, en la que a partir de las etapas anteriores, se trata de calcular el valor del peso del recipiente vacío R.
	Esta hipótesis sobre el error en la medida tiene, a nuestro entender, pocas perspectivas de verificarse debido a las siguientes consideraciones:
	1.- La estrategia que debe “romper” no se trata de un procedimiento de base, inicial en la situación. Se trata del resultado de una evolución que ha llevado al alumno al acercamiento, según palabras de los mismos autores, al uso de una función afín. Este nuevo aprendizaje no puede ser validado ya que, cuando se produce debe ser abandonado, con lo que el niño dudará antes de sus procedimientos (objetivo de la primera actividad) que de la falta de precisión en la medición.  Incluso muchos niños no son todavía conscientes en este momento de las contradicciones “aritméticas” que se plantean.
	2.- La consideración del error exige que el alumno entre a valorar, con otros,  dos hechos que han estado bajo la responsabilidad del profesor en todo momento: el vertido del vaso y la ejecución de las pesadas. El contrato planteado esconde, a nuestro entender, la posibilidad de que el error inherente a la medición sea contemplado de una manera a-didáctica. Aunque  los niños realicen las pesadas, la precisión es responsabilidad en  todo momento del profesor. Es Brousseau quien establece el método de lectura de las pesadas al establecer él cuando se considera equilibrada la balanza.
	3.- Las propuestas de la localización del error que los niños utilizan para explicar las desviaciones no se presentan con medios para validarlas. Es más, no todas tienen naturalezas similares y muestran en algunos casos falsas concepciones sobre el uso de balanzas Roverbal (la aguja sólo debe indicar si hay equilibrio o no lo hay, no existen otras lecturas).
5. El tratamiento del error.
En las lecciones descritas en el documento escrito, se preven dos objetivos:
a) que los niños encuentren el peso de un recipiente vacío, conociendo el peso del recipiente lleno y su contenido;
b) presentar a los alumnos las desviaciones entre manipulaciones y observaciones, por un lado, y previsiones y cálculos numéricos, por otro. 
Dos objetivos, que no son dos, sino cuatro. Serían cuatro, dos diferentes en el objetivo a y otros tantos en el b, porque:
 a1) la naturaleza del peso del recipiente es esencialmente diferente de la del peso del agua que cabe en un vaso. Salvo infidelidades de la balanza, (que afectan de forma variable a todo lo que en ella se pesa), el peso del recipiente es un número, que permanece fijo a lo largo de toda la experimentación, si bien su “verdadero” valor, quedará contenido en un intervalo cuyos extremos pueden prefijarse, explicitando el error admisible en la pesada. 
a2 ) El peso del agua que cabe en un vaso es doblemente variable; no hay “un vaso de agua” en el experimento, sino cinco contenidos, seguramente distintos. Los pesos de las cinco cantidades de agua, acompañados de los errores de equilibración de la balanza (seguramente diferentes en cada pesada), serán cinco números, que pueden situarse en un intervalo cuyos extremos no son inicialmente  definibles, dada la imprecisión del llenado del vaso. 
b1 ) La desviación entre manipulaciones y observaciones, es realmente un divorcio antes del matrimonio. El documento parece referirse en su contexto a manipulaciones y observaciones de un mismo sujeto, el niño, cuando dice “presentar a los alumnos...”. Sin embargo, durante el desarrollo de la actividad las manipulaciones lo son de la maestra, que es quien muestra la balanza a los niños, muestra las pesas disponibles, llena cada vez el vaso de agua lo echa al recipiente, coloca el recipiente con el agua en el platillo de la balanza. Ningún niño, en ningún momento, sopesa el recipiente, los vasos con el agua, o las pesas. Varios niños, uno cada vez, tratan de equilibrar la balanza con las pesas disponibles.
Las observaciones, sin embargo corren a cargo de los niños. Son observaciones visuales fundamentalmente. 
	El “presentar a los alumnos el problema de la desviación entre manipulaciones y observaciones”, es un excelente objetivo, que sin duda “se consigue” con esta experimentación. Pero realmente lo que hay detrás de los pretendidos logros es un gran efecto del contrato didáctico (que es estudiado en otro apartado de este documento).
	b2 ) La desviación entre previsiones y cálculos numéricos, es otro de los subobjetivos propuestos. Una previsión supone un acto consciente, basado en representaciones de la tarea propuesta. Los niños han de prever, ¿un peso?, han de dar una respuesta numérica,  valiéndose de informaciones visuales. Se les pide adivinar, pero en las consignas se les advierte que reflexionen, que no adivinen. Han de hacer una transferencia múltiple. En primer lugar sus imágenes visuales han de suscitar experiencias no visuales, han de movilizar recuerdos sobre sensaciones físicas de peso. En segundo lugar, los datos recuperados de otras sensaciones físicas anteriores, han de permitir la asignación de un valor numérico, que hay que comunicar en voz alta. La predicción numérica se hace sobre el total del peso recipiente y agua; dadas las características de la experimentación se trata de una adivinación no de una previsión. 
	La desviación entre previsión y cálculo no es tal. Para los niños, el cálculo se realiza cada vez tras una reconstrucción mental de las acciones contempladas, al menos hasta el vertido del contenido del tercer vaso de agua en el recipiente. Reconstrucción, efectuada a posteriori, tras nueva consigna en la que la maestra pide explicación de los números enunciados. 
En las sucesivas reconstrucciones, algunos niños parten del número resultante de cada pesada anterior, efectuada por otro niño (ayudado por los maestros) y, utilizando técnicas aritméticas, dan explicación al número que han escuchado primero, y visto escrito en la pizarra, como resultado de la pesada correspondiente, no de la adivinación previa propia. A partir de la tercera o cuarta cantidad de agua vertida en el recipiente, los niños invierten la estrategia y hacen la predicción del número siguiente basándose en la estrategia aritmética que utilizaron en el paso anterior. La confusión está servida. Hay un cúmulo de cosas que se interfieren y entremezclan: ¡una vez pesa 155 g y otra 180 g el agua vertida!. El niño no dispone de retroacciones que le den evidencia de la corrección de sus cálculos y le permitan achacar las diferencias a algo que no sean los errores que él haya podido cometer. Subrepticiamente se está introduciendo una identificación fatal entre inexactitud (en la pesada) y error (de apreciación y cálculo). De este modo niños cuya aritmetización del problema era correcta, quedan perplejos y tratan de desechar estrategias correctas ante la validación que se hace de su respuesta.
En cambio, para la maestra sí hay confirmación de la desviación, que tiene prevista, dada la forma en que organiza en la pizarra los datos que recibe de los alumnos. Organización lineal, en busca de la definición de un intervalo, o traducción a algoritmos aritméticos de explicaciones obtenidas del lenguaje oral de los niños (nunca se “copia” lo que hay en el cuaderno).
	Los objetivos formulados quedan desvirtuados ante el cúmulo de imprecisiones, sustituciones y errores que se entremezclan. El diseño de la experiencia, y su posterior desarrollo, quizá puedan ser tomados como ejemplos de modelos de efectos didácticos. De esta forma, parece que el objetivo principal subyacente en la propuesta es: 
Conseguir que alguno de los alumnos explicite en voz alta una estrategia de tipo aritmético, cuyo producto resultante es un número. Número que el niño ha elaborado, tras un proceso de adivinación-cálculo, y que él asigna a la medida del peso de un recipiente más el agua en él contenida. La validación de la estrategia seguida lo es a través del resultado: el número obtenido. Si es posible o no, incluirlo en un intervalo que la maestra fija durante la experiencia.
A lo largo de la experimentación contemplamos la suplantación de la magnitud peso por su sustitutivo aritmetizado. Gran parte de este error-efecto didáctico puede deberse a la gestión que hace de la clase la maestra y a las actividades “de recordatorio-entrenamiento”, previas en que se ejercita a los alumnos.
6.- Análisis de la situación desde el enfoque semiótico
 	6.1.- Entrenamiento previo a la propuesta de la situación. Comentarios desde el enfoque semiótico
	Se inicia el vídeo con un entrenamiento que consiste en la transformación de escrituras complejas, que indican una medida de peso determinada, en una escritura que expresa el número de gramos correspondientes. La forma de realizar esas transformaciones es la clásica de conversión de cada una de las cantidades de unidades de peso a la unidad de llegada (el g) multiplicando por la potencia de 10 correspondiente, para terminar con la adicción de las cantidades de peso así obtenidas.
	Se proponen por otra parte escrituras no usuales, escrituras en que se contemplan cantidades como: 1/2 dag, 1/2 kg, 1/4 hg o 1 doble dag , procediéndose en la transformación a la obtención de gramos de la unidad correspondiente y, posteriormente, a la división por 2, por 4 o a la multiplicación por 2.
	¿En qué registro semiótico se sitúan escrituras como las citadas cuatro líneas más arriba o escrituras como  1 medio kg+1 doble dag    ? ¿Cómo se ha llegado a ese híbrido que comprende la escritura compleja de una medida en función de las unidades del sistema decimal de medida y, a la vez, una escritura que remite al lenguaje natural? Esa mezcla de dos registros semióticos distintos, el determinado por el sistema de medida adoptado y el que implica el lenguaje natural, ¿cómo se ha generado?, ¿responde a medidas realizadas en la práctica o son una proposición del enseñante que se encuadra en el fenómeno de  aritmetización de la medida (Chamorro, 1997)?, ¿no se contribuye así a la generación de un obstáculo didáctico? ¿no se produce una situación paradójica al acercarse por una parte (uso de mitades, cuartos, dobles, etc.) a la enculturación de la medida (Chamorro, 1997) y al alejarse por otra (uso de hg, dag, etc) de la misma?
Desde el punto de vista de desarrollo de la secuencia didáctica planteada y teniendo en cuenta el desarrollo posterior de la sesión o sesiones utilizadas, ¿para qué ha servido ese entrenamiento, si posteriormente no se contemplaran escrituras de ese tipo? No se obtendrán escrituras aditivas, y se contemplarán cantidades de medida donde el número de unidades de cada tipo viene dada, en forma de cifra, no por la escritura que aparece grabada en cada una de las pesas (ej.: 500 g) sino por la escritura que impone la maestra teniendo en cuenta esas unidades del S.M.D.  que entrarían en el aspecto cultural correspondiente (ej. 5 hg, por referirnos al mismo ejemplo mencionado más arriba ).
6.2. Análisis de la situación desde el enfoque semiótico. El uso de registros semióticos.
	6.2.1. Presentación de la situación. Primera fase: Registro de resultados en una tabla
	La primera escritura producida, resultado indirecto de la contemplación de las cantidades registradas en cada una de las pesas utilizadas para hallar el peso del recipiente con agua (hay una mediación de la maestra para que no se registren los resultados directos), se refleja en una tabla cuya pertinencia cognitiva es de dudoso origen. 
kg	hg	dag	g	Total	
	2	2	1
2
5	228 g	

	¿Se trata de un registro semiótico al que recurren los alumnos como resultado de la consideración de su equivalencia referencial (Duval, 1988) en este o en otros casos a los que se pudiese acomodar? ¿Se trata de una imposición del enseñante? y, entonces, ¿qué puede aportar al alumno si nos movemos en una teoría como la de las situaciones (Brousseau,1988) y más específicamente si nos movemos en el interior de una situación de formulación?
	¿Cómo se relaciona la escritura producida en este registro semiótico con las escrituras en que se habían entrenado anteriormente los alumnos? ¿Resulta pertinente un registro que da lugar a escrituras aditivas complejas, viendo cómo llegan los alumnos a la transformación en gramos a partir de la tabla resultante en esta primera fase de la secuencia didáctica?
	6.2.2.  Segunda fase: Uso de una correspondencia, como paso previo a una posible estrategia de estimación adecuada
	Continuando con este análisis semiótico aparece, como un elemento nuevo de esta fase, la correspondencia entre el número de vasos de agua que se vacían en el recipiente y el peso total del recipiente con el agua contenida. 
		Nº de vasos					Peso total
		  	1					    228 g
			2					    383 g

	Esta formulación de lo que allí está ocurriendo, por usar la terminología de la teoría de situaciones, no la construye el alumno, se trata de imponer (lo hace la maestra) un registro semiótico nuevo que ayude a formular el modo de llegar a una estimación que sea semióticamente coherente (Duval, 1988).
	¿Hasta que punto es lícito introducir un registro semiótico que no refleje lo que está ocurriendo en realidad? ¿No se trata de llevar el desarrollo lógico de la teoría de las situaciones hasta un punto en que no funciona la estrategia para intentar, entonces una estrategia nueva? Pero, en este caso, ¿es lícito imponer en el camino una formulación que no traduzca fielmente lo que está pasando? 
	Las preguntas anteriores no se plantearían si fuese el alumno el responsable del funcionamiento semiótico de la situación y, de este modo, no se plantearían los escrúpulos éticos que transparenta el cuestionamiento anterior.

6.2.3.-  Tercera fase: Enunciado de una estrategia para estimar el peso en los pasos sucesivos de la experiencia
Siguiendo la dinámica de la experiencia, toca prever el peso con tres vasos de agua y, antes de proceder a la pesada, se plantea una pregunta al alumno: ¿quién cree que ha realizado una buena previsión?. Ante esta pregunta los alumnos enuncian el método empleado (formulación verbal que va coincidiendo con la consiguiente formulación escrita en la pizarra):
Diferencia entre 228 y 383
A 383 se añade esa diferencia	383-228	
383+155=553	
Formulación verbal del alumno	  Formulación escrita de la maestra
	Aparece en la primera parte, de forma clara, la incoherencia semántica entre la expresión verbal del alumno y la expresión escrita de la maestra. ¿Porqué no se encarga a otro alumno de la expresión escrita? ¿No se produce una invasión del terreno del alumno (constructor del conocimiento) por parte de la maestra? ¿Se mantendría la  coherencia semántica si fuese un alumno el que tradujese a la formulación escrita?
	6.2.4.- Aparición de otros registros semióticos en el desarrollo de la situación 	
	Periódicamente se introducen durante la experiencia formulaciones que remiten a registros semióticos coherentes o no con el desarrollo previsto de la situación. Entre los primeros se encuentra la transformación en gramos del peso calculado empíricamente, entre los segundos el registro en intervalos sobre la recta de las previsiones de los alumnos en cada paso de la experiencia.
	Respecto a la transformación en gramos de las cantidades obtenidas, por ejemplo de:		
5hg   5dag   2g
                                   1g	en     	553g	

se produce una traducción entre dos registros representativos distintos que suponen, en el caso del primer registro, el uso de unidades que socialmente no aparecen como unidades referenciales. ¿Será ese desuso social el que impone esa traducción a una unidad aceptada socialmente? ¿Ha sido una elección del alumno o se trata, una vez más, de una imposición, aunque sea subliminal a través de los ejercicios de entrenamiento, de la enseñante?
	Respecto al registro de las previsiones en intervalos sobre la recta, que se realiza subrepticiamente a lo largo de toda la experiencia, ¿cuál es la pertinencia de la introducción de un registro representativo de ese género para el desarrollo lógico de la situación, desde un punto de vista cognitivo?
		25g	    80g			   125g		          450g
                   1				3			5			2
	La forma de hacer explícito ese registro de representación, durante el desarrollo del vídeo, tanto en la representación de la maestra como en el enunciado de objetivos de la situación por parte del narrador, ¿contribuyen a aclarar la pertinencia o la coherencia semiótica de la introducción de tal elemento de representación?
	No es posible la comprensión, en el sentido que le da Godino (Godino, 1996), si no es relacionando las expresiones y notaciones simbólicas a los aspectos intensionales y extensionales del objeto que se pretende introducir con la situación que estamos analizando. Mucho menos introduciendo registros semióticos extraños al desarrollo lógico de la situación.
Otra cuestión como la coordinación de los diversos registros semióticos (Vecino, 1997) queda sin resolver puesto que, en ningún momento, se ha planteado la traducción entre ellos y, en cualquier caso, chirriarán como mínimo esos registros que no proceden en la situación planteada
6.3.- Influencia mutua entre la utilización de diversos registros semióticos y la formación de esquemas
	Parece claro que cada uno de los registros semióticos a que nos hemos referido en los puntos anteriores no han resultado como consecuencia del desarrollo potencial de la situación que se propone al alumno, sobre todo en lo que se refiere al pleno desarrollo de la dialéctica de la formulación (Brousseau, 1988). La mayoría de las formulaciones que van surgiendo en el itinerario de la secuencia didáctica no surge como consecuencia de una elaboración del alumno, ya que todas ellas son sugeridas (¿impuestas?) por la guía de la experimentación. Cabe entonces preguntarse sobre la influencia mutua a que se someterían los registros semióticos correspondientes y los esquemas que aplica el alumno o que se van formando en su mente como consecuencia de la resolución de la situación.
	A partir del cuestionamiento anterior se puede realizar un análisis a priori que se concretaría en el avance de una serie de hipótesis sobre esa influencia a que nos hemos referido. 
	Hipótesis 1: El entrenamiento en ejercicios de conversión de escrituras complejas (que expresan la medida en función de las unidades del sistema decimal de medida) en la unidad culturalmente aceptada inducirá un esquema que   no aprovechará las potencialidades del sistema de medida y que potenciará el fenómeno de aritmetización de la misma.
	Indicios que contribuirán a la validación de esta hipótesis los encontramos en los registros semióticos que aparecen bajo la forma de tablas y en el uso posterior que se hace de ellas, induciendo un esquema que conecta claramente con aquellas prácticas introductorias.
	Hipótesis 2: La imposición de registros semióticos cuya utilización no sea una consecuencia del desarrollo de la situación por parte del alumno produce la fijación de esquemas que se muestran resistentes al cambio y, es más, pueden hacer que esquemas conceptualmente correctos no funcionen.
	Un caso bastante claro en estas sesiones es la introducción del registro semiótico que se traduce en la plasmación de una correspondencia que  generará seguramente obstáculos de tipo didáctico.
	Hipótesis 3: Un cuidadoso análisis a priori puede ayudar a diseñar la situación de forma que surjan los registros semióticos más adecuados, en un ejercicio que comprenda un adecuado planteamiento de la dialéctica de la formulación, y ello ayudará a la construcción de esquemas que sirvan para una correcta consideración del error en el ejercicio de cualquier medición.
	La correcta construcción del sentido del error  en la medida debería tener en cuenta "la manipulación de los objetos materiales que se desglosan en diferentes registros semióticos" (Chevallard, 1991). Se entiende que ese desglose o diversificación de registros deben resultar de la manipulación que hace el alumno de la situación propuesta.
	Hipótesis 4: La introducción de registros que sirven única y exclusivamente a las intenciones del investigador o al experimentador puede  generar una falsa ilusión sobre el uso de ciertos esquemas que podrían ayudar  a alcanzar algunos de los objetivos que previamente se han programado. .
	Un caso que podría guiarnos en la verificación de tal hipótesis es la introducción del registro semiótico que ayuda a situar las respuestas del alumno en intervalos que en la práctica no son significativos para el alumno. 
7. CONCLUSIONES
	El análisis efectuado nos lleva a emitir las siguientes conclusiones:
PRIMERA: Se observan contradicciones entre la teoría de situaciones didácticas en la que se enmarcan el diseño y el desarrollo de las actividades, contradicciones que se manifiestan al contrastar los objetivos propuestos inicialmente con diseño, desarrollo, y conclusiones explicitados en el documento.
SEGUNDA: Las contradicciones observadas hacen que el objetivo principal logrado por esta secuencia sea otro, bien distinto de los pretendidos. Puede resumirse en: “Conseguir que alguno de los alumnos explicite en voz alta una estrategia de tipo aritmético, cuyo producto resultante sea, en principio, un número. Número que el niño elabora, tras un proceso de adivinación-cálculo, y que él asigna a la medida del peso de un recipiente más el agua en él contenida. La validación de la estrategia seguida lo es, fundamentalmente, a través del resultado: el número obtenido. Si es posible incluirlo en un intervalo que la maestra fija durante la experiencia, al niño  se le impondrá como correcta, de otro modo no. Los extremos del intervalo aparecen desprovistos de significado para la mayoría de los niños”.
TERCERA: La metodología empleada en la realización de las actividades es exhaustivamente dirigista. Desecha, antes de que aparezcan o se consoliden, formas de expresión o cálculo que no “quepan” en el marco aritmético-gráfico utilizado exclusivamente por la maestra. La maestra ignora, huye, de todo tipo de errores que pueda hacer que la actividad se desvíe de la consecución de los objetivos enunciados; a toda costa trata de hacer emerger la necesidad de la inexactitud de las pesadas obtenidas, como consecuencia de los aspectos manipulativos de la actividad. No se hace un uso cuidadoso del lenguaje, al no introducirse en ningún momento correcciones o matizaciones que permitan a los niños establecer distinción entre el lenguaje natural y el específico de las magnitudes tratadas y continuamente oímos hablar de “el peso de un vaso de agua”, o de “adivinación”. Tampoco se matizan comentarios que favorezcan distinción entre conceptos tan dispares matemáticamente como error, inexactitud, error inherente a una situación de medición física. 
CUARTA: Se deja a cargo del niño una tarea que no está a su alcance, la separación de una característica, propia del conocimiento físico, (inexactitud inherente a un proceso de medición), que ha de deducir y manifestar  el niño, según la intención de los objetivos enunciados en la actividad sirviéndose de conocimientos previos matemático aritméticos.  Realmente se le encomienda con la actividad la tarea de discriminar la existencia de un conjunto imagen de una aplicación multiforme. Durante el desarrollo de toda la actividad consecuencia, quizá del uso poco cuidado del lenguaje natural, acecha la confusión de conceptos esencialmente distintos, error y exactitud.
QUINTA- El error se sigue mostrando como un subproducto de la medición, cuando en realidad es consustancial a la misma. Sólo las mediciones idealizadas ( y por tanto no efectivas) no lo presentan. Pero éstas no son reales. La necesidad de utilizar márgenes de error no es por tanto fruto de malas prácticas, como parece deducirse de la situación, sino que es simplemente una necesidad epistemológica.
 SEXTA- En los comentarios al final del artículo se hace referencia a la necesidad de ofrecer los resultados de las mediciones mediante intervalos dentro de los cuales podemos asegurar que se encuentra el resultado teórico cierto. Entendemos que el uso de balanzas Roberval, por su propio funcionamiento, es un material excelente para producir desde el comienzo resultados de mediciones en forma de intervalos. Pero otra vez nos encontramos con un contrato didáctico fluctuante: en el desarrollo de la primera actividad jamás se utilizan intervalos como resultados de mediciones, y después se defiende el manejo de intervalos en lugar de lecturas precisas. El uso de estas escrituras parece que es algo arbitrario, que depende del profesor, sin que el alumno tenga claves que le indique su pertinencia.
SÉPTIMA- Es necesario proceder a un estudio teórico sobre las características que deben tener las situaciones didácticas que tengan como objetivo la construcción de la noción de error, estableciendo las limitaciones del contrato en relación con el tratamiento de los distintos tipos de error, y constuyendo un medio capaz de producir interacciones constructivas.
OCTAVA- No es posible proceder a un estudio en términos de esquemas con el material facilitado, se requiere de una progresión más larga, de un mayor número de observaciones y de una metodología clínica que proporcione protocolos detallados de las conductas individuales.
NOVENA- Los registros semióticos deben resultar, en lo posible, de la necesidad de comunicación a que la situación conduce al alumno. No debe ser, en lo posible una imposición del enseñante como aparece en este artículo y se deben evitar aquellos registros que no tienen ninguna significación para el alumno.
DÉCIMA- Siempre que exista la posibilidad de que se generen registros semióticos en una situación, esta debe incluir en su diseño actividades de traducción, directa e inversa, entre ellas pues, de otro modo, no tendrá ningún interés didáctico esa generación de registros. Un ejercicio significativo de la dialéctica de la formulación debe prever la comunicación entre actores diversos dotados, cada uno, de registros distintos.
 CONCLUSIÓN:
El análisis didáctico efectuado produce que la situación de experimentación diseñada se disuelva como si se tratara de “Pesar el agua que tenemos entre las manos”.